Poser t=φ(x) pour transformer une intégrale compliquée en une intégrale immédiate : substitutions polynomiales, trigonométriques, et le lien avec le théorème de l'énergie cinétique.
Le changement de variable permet de transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple, en remplaçant la variable $x$ par une nouvelle variable $t=\varphi(x)$ (ou $x=\psi(t)$).
Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ (dérivable, dérivée continue) sur $[a,b]$, et $f$ continue sur $\varphi([a,b])$. Alors :
$$\int_a^b f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\,dt$$
En pratique, on pose $t=\varphi(x)$, d'où $dt=\varphi'(x)\,dx$ : on remplace à la fois l'intégrande et l'élément différentiel $dx$, et on change les bornes ($x=a\to t=\varphi(a)$, $x=b\to t=\varphi(b)$).
// Changement de variable t = φ(x)
1. Repérer φ(x) et vérifier que φ'(x) apparaît (à un facteur près) dans l'intégrande
2. Poser t = φ(x), donc dt = φ'(x) dx
3. Réécrire l'intégrale entièrement en fonction de t
4. Changer les bornes : x=a → t=φ(a) ; x=b → t=φ(b)
5. Calculer la nouvelle intégrale (souvent immédiate)
On pose $t=x^2+1$, donc $dt=2x\,dx$ — exactement le facteur $2x\,dx$ présent dans l'intégrale !
Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=2\Rightarrow t=5$.
$$\int_0^2 2x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int_1^5\sqrt t\,dt = \left[\frac23t^{3/2}\right]_1^5 = \frac23\left(5\sqrt5-1\right)$$
Numériquement : $\dfrac23(5\sqrt5-1)\approx\dfrac{10\sqrt5-2}3\approx6{,}120$.
On pose $t=\sin x$, donc $dt=\cos x\,dx$ — le facteur $\cos x\,dx$ est présent.
Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=\pi/2\Rightarrow t=1$.
$$\int_0^{\pi/2}\cos(x)\sin^3(x)\,dx = \int_0^1t^3\,dt = \left[\frac{t^4}4\right]_0^1 = \frac14$$
On retrouve exactement le résultat obtenu directement au chapitre « Primitives » (méthode $u'u^n$) : le changement de variable en est la justification rigoureuse et généralisable.
| Forme rencontrée | Changement de variable |
|---|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x=a\sin t$ (ou $x=a\cos t$) |
| $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x=a\tan t$ |
| Fraction rationnelle en $e^x$ | $t=e^x$ |
| Fraction rationnelle en $\cos x,\sin x$ (règle de Bioche) | $t=\tan(x/2)$ ou variantes selon la parité |
Calculons $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ (aire d'un quart de disque unité).
On pose $x=\sin t$, $t\in[0,\pi/2]$, donc $dx=\cos t\,dt$, et $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$ (car $\cos t\ge0$ sur $[0,\pi/2]$).
Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=1\Rightarrow t=\pi/2$.
$$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt = \int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos(2t)}2\,dt = \left[\frac t2+\frac{\sin(2t)}4\right]_0^{\pi/2} = \frac\pi4$$
Un résultat cohérent avec l'interprétation géométrique : l'aire du quart de disque de rayon 1 vaut $\dfrac{\pi\times1^2}4=\dfrac\pi4$.
Après un changement de variable dans une intégrale définie, il ne faut jamais revenir à $x$ avant de conclure : soit on calcule directement en $t$ avec les bornes changées (méthode recommandée), soit on revient explicitement à une expression en $x$ (primitive), puis on applique les bornes en $x$ d'origine. Mélanger les deux approches (bornes en $t$ appliquées à une expression en $x$, ou l'inverse) est une source d'erreur fréquente.
Calculer $\displaystyle\int_0^1 x(x^2+1)^3\,dx$ en posant $t=x^2+1$.
$dt=2x\,dx$, donc $x\,dx=\dfrac{dt}2$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=1\Rightarrow t=2$.
$\displaystyle\int_0^1x(x^2+1)^3dx=\int_1^2\dfrac{t^3}2dt=\left[\dfrac{t^4}8\right]_1^2=\dfrac{16-1}8=\dfrac{15}8=1{,}875$.
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx$ en posant $t=\cos x$.
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. $dt=-\sin x\,dx$, donc $\sin x\,dx=-dt$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=\pi/4\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt2}2$.
$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\dfrac{\sin x}{\cos x}dx=\int_1^{\sqrt2/2}\dfrac{-dt}t=-\Big[\ln t\Big]_1^{\sqrt2/2}=-\ln\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)=\ln\sqrt2=\dfrac{\ln2}2\approx0{,}347$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx$ en posant $t=x^2$.
$dt=2x\,dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=1\Rightarrow t=1$.
$\displaystyle\int_0^12xe^{x^2}dx=\int_0^1e^tdt=\Big[e^t\Big]_0^1=e-1\approx1{,}718$.
Calculer $\displaystyle\int_2^4\dfrac1{x\ln x}\,dx$ en posant $t=\ln x$.
$dt=\dfrac1x dx$. Bornes : $x=2\Rightarrow t=\ln2$ ; $x=4\Rightarrow t=\ln4=2\ln2$.
$\displaystyle\int_2^4\dfrac1{x\ln x}dx=\int_{\ln2}^{2\ln2}\dfrac{dt}t=\Big[\ln t\Big]_{\ln2}^{2\ln2}=\ln(2\ln2)-\ln(\ln2)=\ln2\approx0{,}693$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{(1+x^2)^2}\,dx$ en posant $t=1+x^2$.
$dt=2x\,dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=1\Rightarrow t=2$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{(1+x^2)^2}dx=\int_1^2\dfrac{dt}{2t^2}=\left[-\dfrac1{2t}\right]_1^2=-\dfrac14+\dfrac12=\dfrac14=0{,}25$.
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos^2(x)\,dx$ en posant $t=\cos x$.
$dt=-\sin x\,dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=\pi/2\Rightarrow t=0$.
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos^2(x)dx=\int_1^0-t^2dt=\int_0^1t^2dt=\left[\dfrac{t^3}3\right]_0^1=\dfrac13\approx0{,}333$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\sqrt{x^3+1}\,dx$.
$t=x^3+1$, $dt=3x^2dx$, donc $x^2dx=\dfrac{dt}3$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=1\Rightarrow t=2$.
$\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt{x^3+1}dx=\int_1^2\dfrac{\sqrt t}3dt=\dfrac13\left[\dfrac23t^{3/2}\right]_1^2=\dfrac29\left(2\sqrt2-1\right)=\dfrac{4\sqrt2-2}9\approx0{,}406$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1\dfrac1{\sqrt{4-x^2}}\,dx$ en posant $x=2\sin t$.
$dx=2\cos t\,dt$. $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4\sin^2t}=2\cos t$ (pour $t\in[0,\pi/2]$). Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=1\Rightarrow\sin t=\dfrac12\Rightarrow t=\dfrac\pi6$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\int_0^{\pi/6}\dfrac{2\cos t}{2\cos t}dt=\int_0^{\pi/6}dt=\dfrac\pi6\approx0{,}524$.
Calculer $\displaystyle\int_0^2\dfrac3{2x+1}\,dx$ en posant $t=2x+1$.
$dt=2\,dx$, donc $dx=\dfrac{dt}2$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=2\Rightarrow t=5$.
$\displaystyle\int_0^2\dfrac3{2x+1}dx=\int_1^5\dfrac3{t}\times\dfrac{dt}2=\dfrac32\Big[\ln t\Big]_1^5=\dfrac32\ln5\approx2{,}414$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3}{x^4+1}\,dx$.
$t=x^4+1$, $dt=4x^3dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=1$ ; $x=1\Rightarrow t=2$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\int_1^2\dfrac{dt}{4t}=\dfrac14\Big[\ln t\Big]_1^2=\dfrac{\ln2}4\approx0{,}173$.
Démontrer, en posant $t=x+c$, que $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_{a+c}^{b+c}f(t-c)\,dt$.
Avec $t=x+c$, $dt=dx$, et $x=t-c$. Bornes : $x=a\Rightarrow t=a+c$ ; $x=b\Rightarrow t=b+c$. En substituant directement dans l'intégrale : $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_{a+c}^{b+c}f(t-c)\,dt$ — une simple translation de la variable d'intégration, qui ne change pas la valeur de l'intégrale (seulement la façon de l'écrire).
Le travail d'une force s'écrit $W=\int_{x_0}^{x_1}F(x)\,dx$. Avec $F=ma=m\dfrac{dv}{dt}$ et $v=\dfrac{dx}{dt}$, montrer par changement de variable $t\to v$ (via $x$) que $W=\int_{v_0}^{v_1}mv\,dv=\dfrac12m(v_1^2-v_0^2)$.
$W=\displaystyle\int_{x_0}^{x_1}m\dfrac{dv}{dt}dx$. On utilise $dx=v\,dt$ (définition de la vitesse), donc $W=\int m\dfrac{dv}{dt}\times v\,dt=\int mv\,dv$ (changement de variable $t\to v$, avec $v$ parcourant $[v_0,v_1]$).
$W=\displaystyle\int_{v_0}^{v_1}mv\,dv=\left[\dfrac{mv^2}2\right]_{v_0}^{v_1}=\dfrac12m(v_1^2-v_0^2)$ — c'est exactement le théorème de l'énergie cinétique, obtenu ici par un simple changement de variable.
Calculer $\displaystyle\int_0^1\dfrac1{1+\sqrt x}\,dx$ en posant $t=\sqrt x$ (donc $x=t^2$, $dx=2t\,dt$).
Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=1\Rightarrow t=1$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac1{1+\sqrt x}dx=\int_0^1\dfrac{2t}{1+t}dt=\int_0^1\left(2-\dfrac2{1+t}\right)dt$ (division euclidienne : $\dfrac{2t}{1+t}=2-\dfrac2{1+t}$).
$=\Big[2t-2\ln(1+t)\Big]_0^1=2-2\ln2\approx0{,}614$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{x^2+2x+5}$.
On complète le carré : $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$.
Avec $t=x+1$, $dt=dx$ : $\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x+1)^2+4}=\int\dfrac{dt}{t^2+4}=\dfrac12\arctan\left(\dfrac t2\right)=\dfrac12\arctan\left(\dfrac{x+1}2\right)$ (forme du chapitre « Primitives », exercice 6, adaptée).
Calculer $\displaystyle\int_0^4\sqrt x\,dx$ en posant $t=\sqrt x$.
$x=t^2$, $dx=2t\,dt$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=4\Rightarrow t=2$.
$\displaystyle\int_0^4\sqrt xdx=\int_0^2t\times2t\,dt=\int_0^22t^2dt=\left[\dfrac{2t^3}3\right]_0^2=\dfrac{16}3\approx5{,}333$ (on retrouve bien le résultat direct $\left[\frac23x^{3/2}\right]_0^4=\frac23\times8=\frac{16}3$).
Vrai ou faux : « lors d'un changement de variable dans une intégrale définie, on peut soit changer les bornes, soit revenir à la variable d'origine à la fin, mais jamais mélanger les deux approches ».
Vrai (cours §6) : c'est précisément le piège classique à éviter. Les deux méthodes sont valables séparément, mais mélanger des bornes en $t$ avec une expression encore en $x$ (ou l'inverse) produit un résultat faux.
Pour $\displaystyle\int\dfrac1{\sqrt{9+x^2}}dx$, quelle substitution trigonométrique (cours §5) est adaptée, et pourquoi ?
$x=3\tan t$ : en effet, $9+x^2=9+9\tan^2t=9(1+\tan^2t)=\dfrac9{\cos^2t}$, ce qui permet à la racine de se simplifier proprement (car $\sqrt{9/\cos^2t}=3/|\cos t|$), transformant l'intégrale en une expression trigonométrique simple.
Calculer $\displaystyle\int_0^{\ln2}e^x\sqrt{e^x+1}\,dx$ en posant $t=e^x+1$.
$dt=e^x dx$. Bornes : $x=0\Rightarrow t=2$ ; $x=\ln2\Rightarrow t=3$.
$\displaystyle\int_0^{\ln2}e^x\sqrt{e^x+1}dx=\int_2^3\sqrt t\,dt=\left[\dfrac23t^{3/2}\right]_2^3=\dfrac23\left(3\sqrt3-2\sqrt2\right)=2\sqrt3-\dfrac{4\sqrt2}3\approx1{,}578$.
Pour $\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx$, quelle substitution choisir ? Est-elle unique ?
$t=x^2$ est le choix naturel ($dt=2x\,dx$, facteur présent). C'est la substitution la plus directe, mais elle n'est pas « unique » au sens strict : toute reparamétrisation équivalente ($t=x^2+c$ pour une constante $c$, ou $t=-x^2$ avec ajustement de signe) fonctionnerait aussi — l'essentiel est que $t$ « absorbe » exactement le facteur dérivé présent dans l'intégrande.
Calculer $\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+4}}\,dx$ (indication : reconnaître d'abord une forme $u'/\sqrt u$).
$u(x)=x^2+3x+4$, $u'(x)=2x+3$ : exactement le numérateur ! On pose $t=u(x)$, $dt=(2x+3)dx$.
Bornes : $x=0\Rightarrow t=4$ ; $x=1\Rightarrow t=8$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+4}}dx=\int_4^8\dfrac{dt}{\sqrt t}=\Big[2\sqrt t\Big]_4^8=2\sqrt8-2\sqrt4=4\sqrt2-4\approx1{,}657$.
Exercice A — Calculer $\displaystyle\int_0^2\dfrac x{\sqrt{x^2+9}}\,dx$ en posant $t=x^2+9$.
1. Exprimer $dt$ en fonction de $x\,dx$, et donner les nouvelles bornes.
2. Calculer la valeur de l'intégrale.
Exercice B — Question de cours
Démontrer le théorème du changement de variable $\displaystyle\int_a^bf(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\,dt$, en utilisant une primitive $F$ de $f$.
Le taux de croissance d'une population de bactéries est modélisé par $r(t)=\dfrac{100t}{\sqrt{t^2+25}}$ (individus/heure), pour $t\in[0,10]$ heures. La croissance totale sur cet intervalle est $N=\displaystyle\int_0^{10}r(t)\,dt$.
1. Poser le changement de variable adapté et donner les nouvelles bornes.
2. Calculer $N$ (on admettra $\sqrt5\approx2{,}236$).
3. Le taux $r(t)$ tend vers $100$ individus/heure lorsque $t\to+\infty$ (croissance quasi-linéaire à terme). Ce comportement est-il cohérent avec la formule de $N$ trouvée en (2), en ordre de grandeur ?