Construire le corps des nombres complexes ℂ à partir de i²=−1, et maîtriser les quatre opérations sur la forme a+ib : la base de tout le chapitre.
Dans $\mathbb R$, l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution : un carré de réel est toujours positif. On construit un nouvel ensemble, noté $\mathbb C$, qui contient $\mathbb R$ et dans lequel cette équation admet une solution — un nombre noté $i$, vérifiant $i^2=-1$.
$\mathbb C$ est l'ensemble des nombres de la forme $a+ib$, où $a,b\in\mathbb R$ et $i$ est un symbole vérifiant $i^2=-1$. On munit $\mathbb C$ d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb R$ et qui font de $(\mathbb C,+,\times)$ un corps : tout élément non nul admet un inverse, l'addition et la multiplication sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive sur l'addition.
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique sous la forme :
$$z = a+ib, \qquad a,b\in\mathbb R$$
$a=\mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$ ; $b=\mathrm{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$ (un réel, malgré son nom). Si $b=0$, $z$ est réel. Si $a=0$ et $b\neq0$, $z$ est dit imaginaire pur.
Égalité de deux complexes : $a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'$ — c'est cette unicité de l'écriture qui permet d'identifier partie réelle et partie imaginaire terme à terme, une technique utilisée en permanence.
Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ :
$$z+z' = (a+a')+i(b+b'), \qquad z\times z' = (aa'-bb')+i(ab'+a'b)$$
La formule du produit vient simplement du développement $(a+ib)(a'+ib')=aa'+iab'+ia'b+i^2bb'=aa'-bb'+i(ab'+a'b)$, en utilisant $i^2=-1$.
Soient $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.
$z_1+z_2 = (3+1)+i(4-2) = 4+2i$.
$z_1\times z_2 = (3\times1-4\times(-2))+i(3\times(-2)+1\times4) = (3+8)+i(-6+4) = 11-2i$.
Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z = a-ib$. Géométriquement (cours suivant), c'est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe des réels.
Propriétés essentielles : $\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$, $\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'$, $\overline{\bar z}=z$, et surtout :
$$z\bar z = a^2+b^2 \in \mathbb R_+$$
C'est cette dernière propriété qui permet de diviser par un complexe non nul : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour se ramener à un réel au dénominateur.
Le module de $z=a+ib$ est $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}$. C'est un réel positif, qui généralise la valeur absolue des réels ($|z|=|a|$ si $b=0$).
Propriétés : $|zz'|=|z||z'|$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ (pour $z'\neq0$), et l'inégalité triangulaire $|z+z'|\le|z|+|z'|$.
Pour calculer $\dfrac{z}{z'}$ avec $z'=a'+ib'\neq0$, on multiplie haut et bas par $\bar{z'}$ :
$$\frac{z}{z'} = \frac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}} = \frac{z\bar{z'}}{a'^2+b'^2}$$
Calculons $\dfrac{3+4i}{1-2i}$. On multiplie par le conjugué du dénominateur, $1+2i$ :
$$\frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i+4i+8i^2}{1+4} = \frac{3+10i-8}{5} = \frac{-5+10i}{5} = -1+2i$$
On vérifie : $(-1+2i)(1-2i) = -1+2i+2i-4i^2 = -1+4i+4 = 3+4i$ ✓.
// Addition, multiplication, division de z=a+ib et z'=a'+ib' somme ← (a+a') + i(b+b') produit ← (aa'-bb') + i(ab'+a'b) si z' ≠ 0 alors quotient ← [(aa'+bb') + i(a'b-ab')] / (a'² + b'²)
Calculer $(2+3i)+(-1+4i)$.
$(2+3i)+(-1+4i) = (2-1)+i(3+4) = 1+7i$.
Calculer $(2+3i)(-1+4i)$.
$(2+3i)(-1+4i) = 2(-1)+2(4i)+3i(-1)+3i(4i) = -2+8i-3i-12 = -14+5i$.
Donner le conjugué et le module de $z=5-2i$.
$\bar z=5+2i$. $|z|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}\approx5{,}385$.
Calculer $\dfrac1{2-i}$.
$\dfrac1{2-i}=\dfrac{2+i}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i}{4+1}=\dfrac{2+i}{5}=0{,}4+0{,}2i$.
Calculer $\dfrac{7+i}{2+3i}$.
$\dfrac{7+i}{2+3i}=\dfrac{(7+i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\dfrac{14-21i+2i-3i^2}{4+9}=\dfrac{14-19i+3}{13}=\dfrac{17-19i}{13}$.
Soit $z=\dfrac{17}{13}-\dfrac{19}{13}i\approx1{,}308-1{,}462i$.
Calculer $i^{2023}$.
Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 : $i^1=i,\,i^2=-1,\,i^3=-i,\,i^4=1$, puis le cycle recommence.
$2023 = 4\times505+3$, donc $i^{2023}=i^3=-i$.
Trouver les réels $x,y$ tels que $(x+iy)(1+i)=3+i$.
$(x+iy)(1+i)=x+ix+iy+i^2y=(x-y)+i(x+y)$. Par identification avec $3+i$ : $x-y=3$ et $x+y=1$.
En additionnant : $2x=4\Rightarrow x=2$, puis $y=1-x=-1$. Vérification : $(2-i)(1+i)=2+2i-i-i^2=2+i+1=3+i$ ✓.
Comparer $|3+4i|$ et $|-3+4i|$.
$|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$. $|-3+4i|=\sqrt{9+16}=5$ : les deux modules sont égaux, car le module ne dépend que des carrés de $a$ et $b$, insensibles au signe de $a$.
Montrer que pour tout $z=a+ib$, $z+\bar z=2a$ et $z-\bar z=2ib$.
$z+\bar z=(a+ib)+(a-ib)=2a$. $z-\bar z=(a+ib)-(a-ib)=2ib$. On en déduit les formules utiles $\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\bar z}2$ et $\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\bar z}{2i}$.
Calculer $(1+i)^4$.
$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$. Donc $(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4$.
Un calcul bien plus rapide qu'en développant directement $(1+i)^4$ terme à terme.
L'impédance d'un circuit RL vaut $Z=R+jL\omega$ (les électroniciens notent $j$ au lieu de $i$), avec $R=30\,\Omega$ et $L\omega=40\,\Omega$. Calculer le module $|Z|$ (l'impédance apparente).
$|Z|=\sqrt{R^2+(L\omega)^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\,\Omega$.
À quelle condition géométrique simple a-t-on égalité $|z+z'|=|z|+|z'|$ ?
L'égalité a lieu si et seulement si $z$ et $z'$ sont « positivement colinéaires », c'est-à-dire que l'un est un multiple réel positif de l'autre (ou l'un des deux est nul) — géométriquement, les vecteurs associés pointent dans la même direction, sans quoi l'inégalité est stricte (l'analogue du triangle « aplati »).
Calculer $(3-2i)^2$.
$(3-2i)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i$.
Donner les parties réelle et imaginaire de $\dfrac1{3+4i}$.
$\dfrac1{3+4i}=\dfrac{3-4i}{9+16}=\dfrac{3-4i}{25}$. Donc $\mathrm{Re}=0{,}12$ et $\mathrm{Im}=-0{,}16$.
Trouver $z\in\mathbb C$ tel que $z+2\bar z=3+i$.
Posons $z=x+iy$ ($x,y$ réels). $z+2\bar z = (x+iy)+2(x-iy) = 3x-iy$.
Par identification avec $3+i$ : $3x=3\Rightarrow x=1$, et $-y=1\Rightarrow y=-1$. D'où $z=1-i$. Vérification : $(1-i)+2(1+i)=1-i+2+2i=3+i$ ✓.
Démontrer algébriquement que $|z|^2=z\bar z$ pour tout $z\in\mathbb C$.
Pour $z=a+ib$ : $z\bar z=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2-i^2b^2=a^2+b^2$. Or $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ par définition, donc $|z|^2=a^2+b^2=z\bar z$.
Calculer $(1+i)(1-i)(2+i)$.
On regroupe astucieusement : $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$ (un conjugué reconnu). Puis $2\times(2+i)=4+2i$.
Regrouper les paires conjuguées avant de développer simplifie souvent considérablement le calcul.
Simplifier $\dfrac{1+i}{1-i}$.
$\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i+i^2}{1+1}=\dfrac{2i}{2}=i$.
Montrer que $z\in\mathbb R \iff \bar z=z$.
Si $z=a+ib$ est réel, $b=0$, donc $\bar z=a-i(0)=a=z$. Réciproquement, si $\bar z=z$, alors $a-ib=a+ib\Rightarrow -ib=ib\Rightarrow 2ib=0\Rightarrow b=0$ (car $i\neq0$) : $z=a$ est réel.
Calculer $\dfrac{(2+i)^2}{1-i}+\overline{3-i}$.
$(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i$.
$\dfrac{3+4i}{1-i}=\dfrac{(3+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+3i+4i+4i^2}{2}=\dfrac{3+7i-4}{2}=\dfrac{-1+7i}{2}=-0{,}5+3{,}5i$.
$\overline{3-i}=3+i$. Somme : $(-0{,}5+3{,}5i)+(3+i)=2{,}5+4{,}5i$.
Exercice A — Soient $z_1=3-5i$ et $z_2=-2+4i$.
1. Calculer $z_1+z_2$ et $z_1\times z_2$.
2. Calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$.
3. Calculer $|z_1|$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer que pour tous $z,z'\in\mathbb C$, $\overline{zz'}=\bar z\,\overline{z'}$.
Deux dipôles électriques ont pour impédances complexes $Z_1=20+15i\ \Omega$ et $Z_2=10-25i\ \Omega$ (la partie imaginaire traduit un comportement inductif si positive, capacitif si négative).
1. En cas de montage en série, l'impédance totale est $Z_s=Z_1+Z_2$. Calculer $Z_s$ et son module $|Z_s|$.
2. En cas de montage en parallèle, l'impédance totale vérifie $\dfrac1{Z_p}=\dfrac1{Z_1}+\dfrac1{Z_2}$. Calculer $Z_p$.
3. Le module $|Z|$ d'une impédance correspond au rapport entre l'amplitude de la tension et l'amplitude du courant. Pourquoi est-il essentiel de travailler avec les nombres complexes plutôt qu'avec les seuls modules, pour additionner des impédances ?