1Pourquoi construire un nouvel ensemble de nombres ?
Dans $\mathbb R$, l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution : un carré de réel est toujours positif. On construit un nouvel ensemble, noté $\mathbb C$, qui contient $\mathbb R$ et dans lequel cette équation admet une solution — un nombre noté $i$, vérifiant $i^2=-1$.
Construction
$\mathbb C$ est l'ensemble des nombres de la forme $a+ib$, où $a,b\in\mathbb R$ et $i$ est un symbole vérifiant $i^2=-1$. On munit $\mathbb C$ d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb R$ et qui font de $(\mathbb C,+,\times)$ un corps : tout élément non nul admet un inverse, l'addition et la multiplication sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive sur l'addition.
2Forme algébrique
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique sous la forme :
$$z = a+ib, \qquad a,b\in\mathbb R$$
Vocabulaire
$a=\mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$ ; $b=\mathrm{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$ (un réel, malgré son nom). Si $b=0$, $z$ est réel. Si $a=0$ et $b\neq0$, $z$ est dit imaginaire pur.
Égalité de deux complexes : $a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'$ — c'est cette unicité de l'écriture qui permet d'identifier partie réelle et partie imaginaire terme à terme, une technique utilisée en permanence.
3Opérations sur la forme algébrique
Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ :
$$z+z' = (a+a')+i(b+b'), \qquad z\times z' = (aa'-bb')+i(ab'+a'b)$$
La formule du produit vient simplement du développement $(a+ib)(a'+ib')=aa'+iab'+ia'b+i^2bb'=aa'-bb'+i(ab'+a'b)$, en utilisant $i^2=-1$.
Exemple résolu
Soient $z_1=3+4i$ et $z_2=1-2i$.
$z_1+z_2 = (3+1)+i(4-2) = 4+2i$.
$z_1\times z_2 = (3\times1-4\times(-2))+i(3\times(-2)+1\times4) = (3+8)+i(-6+4) = 11-2i$.
4Conjugué
Définition
Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z = a-ib$. Géométriquement (cours suivant), c'est le symétrique de $z$ par rapport à l'axe des réels.
Propriétés essentielles : $\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$, $\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'$, $\overline{\bar z}=z$, et surtout :
$$z\bar z = a^2+b^2 \in \mathbb R_+$$
C'est cette dernière propriété qui permet de diviser par un complexe non nul : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour se ramener à un réel au dénominateur.
5Module
Définition
Le module de $z=a+ib$ est $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}$. C'est un réel positif, qui généralise la valeur absolue des réels ($|z|=|a|$ si $b=0$).
Propriétés : $|zz'|=|z||z'|$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ (pour $z'\neq0$), et l'inégalité triangulaire $|z+z'|\le|z|+|z'|$.
6Division : la méthode du conjugué
Méthode
Pour calculer $\dfrac{z}{z'}$ avec $z'=a'+ib'\neq0$, on multiplie haut et bas par $\bar{z'}$ :
$$\frac{z}{z'} = \frac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}} = \frac{z\bar{z'}}{a'^2+b'^2}$$
Exemple résolu
Calculons $\dfrac{3+4i}{1-2i}$. On multiplie par le conjugué du dénominateur, $1+2i$ :
$$\frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{3+6i+4i+8i^2}{1+4} = \frac{3+10i-8}{5} = \frac{-5+10i}{5} = -1+2i$$
On vérifie : $(-1+2i)(1-2i) = -1+2i+2i-4i^2 = -1+4i+4 = 3+4i$ ✓.
7Algorithme (résumé)
// Addition, multiplication, division de z=a+ib et z'=a'+ib'
somme ← (a+a') + i(b+b')
produit ← (aa'-bb') + i(ab'+a'b)
si z' ≠ 0 alors
quotient ← [(aa'+bb') + i(a'b-ab')] / (a'² + b'²)
Exercice 1 — Somme
Facile
Calculer $(2+3i)+(-1+4i)$.
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- Identifier les parties réelles et imaginaires. Le premier nombre est $2+3i$ (partie réelle $2$, partie imaginaire $3$) ; le second est $-1+4i$ (partie réelle $-1$, partie imaginaire $4$).
- Additionner séparément les parties réelles entre elles, puis les parties imaginaires entre elles. Partie réelle : $2+(-1)=1$. Partie imaginaire : $3+4=7$.
- Recomposer le résultat sous forme algébrique. $(2+3i)+(-1+4i)=1+7i$.
Exercice 2 — Produit
Facile
Calculer $(2+3i)(-1+4i)$.
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- Développer comme un produit de deux binômes (chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second) : $(2+3i)(-1+4i) = 2\times(-1) + 2\times4i + 3i\times(-1) + 3i\times4i$.
- Calculer chaque terme un par un. $2\times(-1)=-2$ ; $2\times4i=8i$ ; $3i\times(-1)=-3i$ ; $3i\times4i=12i^2$.
- Remplacer $i^2$ par $-1$ dans le dernier terme : $12i^2=12\times(-1)=-12$.
- Regrouper partie réelle d'un côté, partie imaginaire de l'autre. Réels : $-2-12=-14$. Imaginaires : $8i-3i=5i$.
- Conclure. $(2+3i)(-1+4i)=-14+5i$.
Exercice 3 — Conjugué et module
Facile
Donner le conjugué et le module de $z=5-2i$.
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- Repérer $a$ et $b$ dans $z=a+ib$. Ici $z=5-2i$, donc $a=5$ et $b=-2$.
- Appliquer la définition du conjugué $\bar z=a-ib$ : on change simplement le signe de la partie imaginaire, donc $\bar z=5-(-2)i=5+2i$.
- Appliquer la formule du module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ : $|z|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$.
- Donner une valeur approchée si utile. $\sqrt{29}\approx5{,}385$.
Exercice 4 — Inverse
Moyen
Calculer $\dfrac1{2-i}$.
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- Repérer le dénominateur et son conjugué. Le dénominateur est $2-i$ ; son conjugué est $2+i$.
- Multiplier numérateur et dénominateur par ce conjugué (c'est la méthode systématique pour éliminer le $i$ du dénominateur) : $\dfrac1{2-i}=\dfrac{2+i}{(2-i)(2+i)}$.
- Calculer le dénominateur en utilisant $(a-ib)(a+ib)=a^2+b^2$ : $(2-i)(2+i)=2^2+1^2=4+1=5$.
- Écrire le résultat sous forme algébrique. $\dfrac{2+i}{5}=\dfrac25+\dfrac15 i=0{,}4+0{,}2i$.
Exercice 5 — Division
Moyen
Calculer $\dfrac{7+i}{2+3i}$.
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- Identifier le conjugué du dénominateur. Le dénominateur est $2+3i$, son conjugué est $2-3i$.
- Multiplier haut et bas par ce conjugué. $\dfrac{7+i}{2+3i}=\dfrac{(7+i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$.
- Développer le numérateur terme à terme : $(7+i)(2-3i)=14-21i+2i-3i^2=14-19i+3=17-19i$ (on a remplacé $-3i^2$ par $+3$).
- Calculer le dénominateur avec $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ : $(2+3i)(2-3i)=4+9=13$.
- Conclure et donner une valeur approchée. $\dfrac{17-19i}{13}=\dfrac{17}{13}-\dfrac{19}{13}i\approx1{,}308-1{,}462i$.
Exercice 6 — Puissances de i
Moyen
Calculer $i^{2023}$.
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- Rappeler le cycle des puissances de $i$. $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, puis le motif se répète tous les 4 exposants.
- Effectuer la division euclidienne de l'exposant par 4 pour savoir où l'on se trouve dans le cycle : $2023 = 4\times505+3$ (le reste est $3$).
- En déduire que $i^{2023}$ se comporte comme $i^3$, puisque les puissances multiples de 4 valent toujours $1$ et n'affectent pas le résultat : $i^{2023}=i^{4\times505}\times i^3=1\times i^3=i^3$.
- Conclure avec la valeur du cycle. $i^3=-i$, donc $i^{2023}=-i$.
Exercice 7 — Identification partie réelle/imaginaire
Moyen
Trouver les réels $x,y$ tels que $(x+iy)(1+i)=3+i$.
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- Développer le membre de gauche. $(x+iy)(1+i)=x+ix+iy+i^2y$.
- Remplacer $i^2$ par $-1$ et regrouper. $x+ix+iy-y=(x-y)+i(x+y)$.
- Identifier partie réelle et partie imaginaire avec le membre de droite $3+i$ (deux complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire) : $x-y=3$ et $x+y=1$.
- Résoudre le système en additionnant les deux équations pour éliminer $y$ : $(x-y)+(x+y)=3+1 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$.
- Revenir à une des deux équations pour trouver $y$. $x+y=1 \Rightarrow y=1-2=-1$.
- Vérifier le résultat en réinjectant $x=2$, $y=-1$ : $(2-i)(1+i)=2+2i-i-i^2=2+i+1=3+i$ ✓.
Exercice 8 — Comparer deux modules
Facile
Comparer $|3+4i|$ et $|-3+4i|$.
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- Calculer le premier module avec $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ : $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
- Calculer le second module de la même façon : $|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
- Comparer les deux résultats. Les deux modules valent $5$ : ils sont égaux.
- Comprendre pourquoi. La formule du module ne fait intervenir que les carrés $a^2$ et $b^2$ ; or $3^2=(-3)^2$, le signe de $a$ n'a donc aucune influence sur le résultat.
Exercice 9 — Partie réelle et imaginaire via le conjugué
Moyen
Montrer que pour tout $z=a+ib$, $z+\bar z=2a$ et $z-\bar z=2ib$.
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- Écrire le conjugué de $z$. Par définition, si $z=a+ib$ alors $\bar z=a-ib$.
- Calculer $z+\bar z$ en additionnant terme à terme : $(a+ib)+(a-ib)=a+a+ib-ib=2a$ (les termes en $i$ s'annulent).
- Calculer $z-\bar z$ en soustrayant terme à terme : $(a+ib)-(a-ib)=a-a+ib+ib=2ib$ (les termes réels s'annulent).
- En déduire deux formules utiles pour retrouver directement $a$ et $b$ à partir de $z$ : $\mathrm{Re}(z)=a=\dfrac{z+\bar z}2$ et $\mathrm{Im}(z)=b=\dfrac{z-\bar z}{2i}$.
Exercice 10 — Puissance quatrième
Moyen
Calculer $(1+i)^4$.
Voir la correction détaillée
- Ne pas développer directement à la puissance 4 (ce serait long) : on calcule d'abord $(1+i)^2$, puis on élève le résultat au carré, puisque $(1+i)^4=\big((1+i)^2\big)^2$.
- Calculer $(1+i)^2$. $(1+i)^2=1^2+2\times1\times i+i^2=1+2i-1=2i$.
- Élever ce résultat au carré. $(1+i)^4=(2i)^2=4i^2$.
- Remplacer $i^2$ par $-1$ et conclure. $4i^2=4\times(-1)=-4$.
Exercice 11 — Application : impédance électrique
Moyen
L'impédance d'un circuit RL vaut $Z=R+jL\omega$ (les électroniciens notent $j$ au lieu de $i$), avec $R=30\,\Omega$ et $L\omega=40\,\Omega$. Calculer le module $|Z|$ (l'impédance apparente).
Voir la correction détaillée
- Identifier les données dans la formule complexe. $Z=R+jL\omega$ correspond à la forme algébrique $a+ib$ avec $a=R=30$ et $b=L\omega=40$.
- Appliquer la formule du module $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$ : $|Z|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}$.
- Calculer la somme sous la racine puis extraire la racine carrée. $900+1600=2500$, et $\sqrt{2500}=50$.
- Conclure avec l'unité physique. $|Z|=50\,\Omega$ : c'est l'impédance apparente du circuit, celle qui relierait amplitude de tension et de courant si l'on ignorait le déphasage.
Exercice 12 — Égalité dans l'inégalité triangulaire
Difficile
À quelle condition géométrique simple a-t-on égalité $|z+z'|=|z|+|z'|$ ?
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- Interpréter géométriquement $|z|$, $|z'|$ et $|z+z'|$. Vus comme des vecteurs du plan, $|z|$ et $|z'|$ sont les longueurs de deux côtés, et $|z+z'|$ est la longueur de leur somme (la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs).
- Se souvenir de l'inégalité triangulaire "classique". Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres, avec égalité seulement si le triangle est "aplati" (les trois points alignés).
- Traduire ce cas d'égalité pour des vecteurs. Le triangle est aplati exactement quand $z$ et $z'$ pointent dans la même direction, c'est-à-dire quand l'un est un multiple réel positif de l'autre (ou que l'un des deux est nul, cas limite trivial).
- Conclure. $|z+z'|=|z|+|z'|$ si et seulement si $z$ et $z'$ sont positivement colinéaires ; dans tout autre cas, l'inégalité est stricte.
Exercice 13 — Carré d'un complexe
Facile
Calculer $(3-2i)^2$.
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- Utiliser l'identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=3$ et $b=2i$ : $(3-2i)^2=3^2-2\times3\times2i+(2i)^2$.
- Calculer chaque terme. $3^2=9$ ; $2\times3\times2i=12i$ ; $(2i)^2=4i^2$.
- Remplacer $i^2$ par $-1$ dans le dernier terme : $4i^2=-4$.
- Regrouper et conclure. $9-12i-4=5-12i$.
Exercice 14 — Inverse d'un complexe donné
Moyen
Donner les parties réelle et imaginaire de $\dfrac1{3+4i}$.
Voir la correction détaillée
- Multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur $3-4i$ : $\dfrac1{3+4i}=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}$.
- Calculer le dénominateur avec $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ : $3^2+4^2=9+16=25$.
- Écrire le résultat sous forme algébrique. $\dfrac{3-4i}{25}=\dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i$.
- Convertir en écriture décimale. $\mathrm{Re}=\dfrac3{25}=0{,}12$ et $\mathrm{Im}=-\dfrac4{25}=-0{,}16$.
Exercice 15 — Résolution d'une équation
Difficile
Trouver $z\in\mathbb C$ tel que $z+2\bar z=3+i$.
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- Poser $z=x+iy$ avec $x,y$ réels (technique standard : dès que l'inconnue est un complexe, on revient à sa forme algébrique pour pouvoir identifier).
- Exprimer $\bar z$ et substituer dans l'équation. $\bar z=x-iy$, donc $z+2\bar z=(x+iy)+2(x-iy)$.
- Développer et regrouper. $(x+iy)+2(x-iy)=x+iy+2x-2iy=3x-iy$.
- Identifier avec le membre de droite $3+i$ (même partie réelle, même partie imaginaire) : $3x=3$ et $-y=1$.
- Résoudre chaque équation séparément. $3x=3\Rightarrow x=1$ ; $-y=1\Rightarrow y=-1$.
- Conclure et vérifier. $z=1-i$. Vérification : $(1-i)+2(1+i)=1-i+2+2i=3+i$ ✓.
Exercice 16 — Preuve générale
Moyen
Démontrer algébriquement que $|z|^2=z\bar z$ pour tout $z\in\mathbb C$.
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- Poser $z=a+ib$ avec $a,b$ réels, et écrire son conjugué $\bar z=a-ib$.
- Calculer le produit $z\bar z$ en utilisant l'identité $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ avec $x=a$ et $y=ib$ : $z\bar z=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2$.
- Développer $(ib)^2$. $(ib)^2=i^2b^2=-b^2$, donc $z\bar z=a^2-(-b^2)=a^2+b^2$.
- Comparer à la définition du module. Par définition, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, donc en élevant au carré : $|z|^2=a^2+b^2$.
- Conclure. Les deux expressions $z\bar z$ et $|z|^2$ valent toutes deux $a^2+b^2$ : elles sont donc égales, pour tout $z$.
Exercice 17 — Produit de trois complexes
Moyen
Calculer $(1+i)(1-i)(2+i)$.
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- Repérer une paire de facteurs conjugués avant de développer aveuglément : $(1+i)$ et $(1-i)$ sont conjugués l'un de l'autre.
- Calculer ce produit en priorité, avec $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ : $(1+i)(1-i)=1^2+1^2=2$.
- Multiplier ce résultat (un simple réel) par le facteur restant. $2\times(2+i)=4+2i$.
- Retenir la méthode : regrouper les paires conjuguées avant de développer transforme un calcul à trois facteurs en un calcul beaucoup plus court.
Exercice 18 — Quotient simplifié
Moyen
Simplifier $\dfrac{1+i}{1-i}$.
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- Multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur $1+i$ : $\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}$.
- Calculer le dénominateur avec $(a-ib)(a+ib)=a^2+b^2$ : $(1-i)(1+i)=1^2+1^2=2$.
- Calculer le numérateur $(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$.
- Simplifier la fraction. $\dfrac{2i}{2}=i$.
Exercice 19 — Caractérisation des réels
Facile
Montrer que $z\in\mathbb R \iff \bar z=z$.
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- Une équivalence se démontre dans les deux sens : d'abord "si $z$ réel alors $\bar z=z$", puis la réciproque.
- Sens direct. Si $z=a+ib$ est réel, alors par définition $b=0$, donc $z=a$. Son conjugué est $\bar z=a-i\times0=a=z$.
- Sens réciproque : supposer $\bar z=z$ et écrire $z=a+ib$. L'égalité devient $a-ib=a+ib$.
- Isoler les termes en $i$. En soustrayant $a$ des deux côtés : $-ib=ib$, soit $2ib=0$.
- Conclure que $b=0$ (puisque $i\neq0$, on peut diviser par $2i$), donc $z=a$ est bien un réel.
Exercice 20 — Synthèse
Difficile
Calculer $\dfrac{(2+i)^2}{1-i}+\overline{3-i}$.
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- Découper le calcul en blocs indépendants : d'abord $(2+i)^2$, puis la division par $1-i$, puis le conjugué $\overline{3-i}$, et enfin on additionne tout à la fin.
- Calculer $(2+i)^2$. $(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i$.
- Diviser ce résultat par $1-i$ en multipliant haut et bas par le conjugué $1+i$ : $\dfrac{3+4i}{1-i}=\dfrac{(3+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$.
- Développer le numérateur de cette fraction. $(3+4i)(1+i)=3+3i+4i+4i^2=3+7i-4=-1+7i$.
- Calculer le dénominateur $(1-i)(1+i)=1+1=2$, donc la fraction vaut $\dfrac{-1+7i}{2}=-0{,}5+3{,}5i$.
- Calculer le conjugué restant. $\overline{3-i}=3+i$.
- Additionner les deux résultats obtenus. $(-0{,}5+3{,}5i)+(3+i)=(-0{,}5+3)+i(3{,}5+1)=2{,}5+4{,}5i$.