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Mathématiques générales · Chapitre 1

Équations du second degré à coefficients complexes

Extraire une racine carrée d'un complexe quelconque, puis résoudre az²+bz+c=0 dans ℂ : toute équation du second degré y admet exactement deux racines.

🎓 Niveau L3 Maths / 1ᵉ année ingénieur ⏱ Cours ~45 min ✎ 20 exercices ✓ QCM 10 questions 📄 2 sujets d'annales corrigés

1Racines carrées d'un nombre complexe

Avant de résoudre une équation du second degré, il faut savoir extraire une racine carrée d'un complexe quelconque $Z=A+iB$ — c'est-à-dire trouver $\delta=x+iy$ tel que $\delta^2=Z$.

Méthode algébrique

$\delta^2=Z \iff (x+iy)^2=A+iB \iff \begin{cases}x^2-y^2=A\\2xy=B\end{cases}$. En ajoutant l'équation des modules $x^2+y^2=|Z|=\sqrt{A^2+B^2}$ (car $|\delta^2|=|\delta|^2=|Z|$), on obtient un système résolu par :

$$x^2 = \frac{|Z|+A}{2}, \qquad y^2 = \frac{|Z|-A}{2}, \qquad \mathrm{sign}(xy)=\mathrm{sign}(B)$$

On obtient $x$ et $y$ au signe près (deux racines carrées opposées $\pm\delta$, comme pour les réels positifs). Le signe relatif de $x$ et $y$ est imposé par le signe de $B=2xy$.

Exemple résolu

Cherchons les racines carrées de $Z=3+4i$.

$|Z|=\sqrt{9+16}=5$. $x^2=\dfrac{5+3}2=4\Rightarrow x=\pm2$. $y^2=\dfrac{5-3}2=1\Rightarrow y=\pm1$.

$B=4>0$ donc $x$ et $y$ ont même signe : les racines sont $\delta=2+i$ et $-\delta=-2-i$. Vérification : $(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i$ ✓.

2Résolution de $az^2+bz+c=0$ dans ℂ

Pour $a,b,c\in\mathbb C$, $a\neq0$, on procède exactement comme dans $\mathbb R$, en complétant le carré :

$$az^2+bz+c = a\left(z+\frac b{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$

Théorème

Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant (complexe en général). Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ (au sens du §1). L'équation admet toujours exactement deux racines (éventuellement confondues) :

$$z_1 = \frac{-b+\delta}{2a}, \qquad z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}$$

Une différence essentielle avec le cas réel

Dans $\mathbb C$, tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées (§1) : l'équation du second degré admet donc toujours deux solutions dans $\mathbb C$, qu'elles soient réelles ou non — il n'y a plus de distinction de cas $\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$ comme dans $\mathbb R$ (ce n'est que le signe du discriminant, une notion qui n'a plus de sens pour un $\Delta$ complexe). Le cas $\Delta=0$ reste particulier : les deux racines sont alors confondues ($z_1=z_2=-b/2a$).

3Cas particulier : coefficients réels, discriminant négatif

Si $a,b,c\in\mathbb R$ et $\Delta=b^2-4ac<0$, alors $-\Delta>0$ et une racine carrée de $\Delta$ est simplement $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ (racine carrée réelle usuelle multipliée par $i$). On retrouve la formule classique vue au lycée :

$$z_{1,2} = \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Les deux racines sont alors conjuguées l'une de l'autre — un cas particulier de la propriété générale : si $a,b,c$ sont réels, les racines complexes non réelles d'un polynôme réel viennent toujours par paires conjuguées.

Illustration graphique
Re Im z₁ = −2+2i z₂ = −2−2i

Les racines $z_1=-2+2i$ et $z_2=-2-2i$ (exemple de l'exercice 11) sont symétriques par rapport à l'axe des réels : c'est la traduction géométrique directe de la conjugaison, garantie dès que les coefficients de l'équation sont réels.

4Exemple complet : coefficients complexes

Exemple résolu

Résolvons $z^2-(3-i)z+4=0$ dans $\mathbb C$.

$\Delta = (3-i)^2-4\times4 = (9-6i-1)-16 = -8-6i$.

Racine carrée de $\Delta=-8-6i$ : $|\Delta|=\sqrt{64+36}=10$. $x^2=\dfrac{10-8}2=1\Rightarrow x=\pm1$. $y^2=\dfrac{10+8}2=9\Rightarrow y=\pm3$. Comme $B=-6<0$, $x$ et $y$ sont de signes opposés : $\delta=1-3i$ convient (on vérifie $(1-3i)^2=1-6i-9=-8-6i$ ✓).

$z_1=\dfrac{(3-i)+(1-3i)}2=\dfrac{4-4i}2=2-2i$. $z_2=\dfrac{(3-i)-(1-3i)}2=\dfrac{2+2i}2=1+i$. Les deux racines sont $\boxed{z_1=2-2i,\ z_2=1+i}$.

5Relations entre coefficients et racines

Somme et produit

Comme dans $\mathbb R$, les racines $z_1,z_2$ de $az^2+bz+c=0$ vérifient :

$$z_1+z_2 = -\frac ba, \qquad z_1z_2 = \frac ca$$

Ces relations sont très utiles pour vérifier rapidement un résultat (comme dans l'exemple ci-dessus : $z_1+z_2=(2-2i)+(1+i)=3-i=-(-(3-i))$ ✓, $z_1z_2=(2-2i)(1+i)=2+2i-2i-2i^2=2+2=4$ ✓), ou pour construire une équation dont on connaît déjà les racines.

6Algorithme

// Résolution de az²+bz+c=0 dans ℂ
Δ ← b² − 4ac
// racine carrée de Δ = A+iB :
r ← |Δ|
x ← √((r+A)/2)
y ← √((r−A)/2)
si B < 0 alors y ← −y
δ ← x + iy
z1 ← (−b + δ) / (2a)
z2 ← (−b − δ) / (2a)

Exercice 1 — Racine carrée

Moyen

Trouver les racines carrées de $Z=5-12i$.

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  1. Identifier $A$ et $B$ dans $Z=A+iB$. Ici $A=5$, $B=-12$.
  2. Calculer le module $|Z|$, nécessaire pour la méthode : $|Z|=\sqrt{5^2+(-12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
  3. Calculer $x^2$ et $y^2$ avec les formules du cours $x^2=\dfrac{|Z|+A}2$, $y^2=\dfrac{|Z|-A}2$ : $x^2=\dfrac{13+5}2=9\Rightarrow x=\pm3$ ; $y^2=\dfrac{13-5}2=4\Rightarrow y=\pm2$.
  4. Déterminer le signe relatif de $x$ et $y$ grâce au signe de $B$ : $B=-12<0$ impose que $x$ et $y$ soient de signes opposés.
  5. Conclure. Les deux racines carrées sont $\delta=3-2i$ et $-\delta=-3+2i$.

Exercice 2 — Racine carrée (2)

Moyen

Trouver les racines carrées de $Z=-3+4i$.

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  1. Identifier $A$ et $B$. $A=-3$, $B=4$.
  2. Calculer le module. $|Z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
  3. Calculer $x^2$ et $y^2$. $x^2=\dfrac{5+(-3)}2=1\Rightarrow x=\pm1$ ; $y^2=\dfrac{5-(-3)}2=4\Rightarrow y=\pm2$.
  4. Fixer le signe relatif avec $B$. $B=4>0$ : $x$ et $y$ ont même signe.
  5. Conclure. Les racines sont $\delta=1+2i$ et $-\delta=-1-2i$.

Exercice 3 — Racine carrée d'un imaginaire pur

Moyen

Trouver les racines carrées de $Z=8i$.

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  1. Identifier $A$ et $B$. $Z=8i$ s'écrit $0+8i$, donc $A=0$, $B=8$.
  2. Calculer le module. $|Z|=\sqrt{0^2+8^2}=8$.
  3. Calculer $x^2$ et $y^2$. $x^2=\dfrac{8+0}2=4\Rightarrow x=\pm2$ ; $y^2=\dfrac{8-0}2=4\Rightarrow y=\pm2$.
  4. Fixer le signe. $B=8>0$ : $x$ et $y$ de même signe.
  5. Conclure. Racines : $2+2i$ et $-2-2i$.

Exercice 4 — Racine carrée d'un réel négatif

Facile

Trouver les racines carrées de $Z=-16$.

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  1. Repérer que $Z$ est réel : $Z=-16=-16+0i$, donc $A=-16$, $B=0$.
  2. Appliquer la méthode générale malgré tout. $|Z|=16$. $x^2=\dfrac{16-16}2=0\Rightarrow x=0$. $y^2=\dfrac{16+16}2=16\Rightarrow y=\pm4$.
  3. Conclure. Les racines sont $4i$ et $-4i$ — on retrouve exactement la formule usuelle apprise au lycée pour la racine carrée d'un réel négatif, car $B=0$ est un cas particulier de la méthode générale.

Exercice 5 — Coefficients réels, discriminant négatif

Facile

Résoudre $z^2-2z+5=0$ dans $\mathbb C$.

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  1. Identifier les coefficients. $a=1$, $b=-2$, $c=5$.
  2. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$. $\Delta=(-2)^2-4(1)(5)=4-20=-16$.
  3. Comme les coefficients sont réels et $\Delta<0$, utiliser la formule directe du cours §3. $\sqrt\Delta=i\sqrt{16}=4i$.
  4. Appliquer la formule des racines $z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ : $z_{1,2}=\dfrac{2\pm4i}2$.
  5. Conclure. $z_1=1+2i$ et $z_2=1-2i$ (deux racines conjuguées, comme attendu pour des coefficients réels).

Exercice 6 — Équation sans terme linéaire

Facile

Résoudre $z^2+4=0$.

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  1. Isoler $z^2$. $z^2+4=0 \iff z^2=-4$.
  2. L'équation revient à chercher les racines carrées de $-4$ (cas particulier sans même avoir besoin de la formule générale du discriminant, puisqu'il n'y a pas de terme en $z$).
  3. Conclure. $z=2i$ ou $z=-2i$.

Exercice 7 — Coefficients complexes, discriminant réel

Difficile

Résoudre $z^2-(4+2i)z+(2+4i)=0$.

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  1. Identifier les coefficients. $a=1$, $b=-(4+2i)$, $c=2+4i$.
  2. Calculer $b^2$. $(4+2i)^2=16+16i+4i^2=16+16i-4=12+16i$.
  3. Calculer $4ac$. $4\times1\times(2+4i)=8+16i$.
  4. En déduire $\Delta=b^2-4ac$. $\Delta=(12+16i)-(8+16i)=4$ — remarquez que $\Delta$ est réel malgré des coefficients complexes, ce qui peut arriver.
  5. Extraire la racine carrée de $\Delta$. Comme $\Delta=4$ est un réel positif, sa racine carrée usuelle convient : $\delta=2$.
  6. Appliquer la formule des racines. $z_{1,2}=\dfrac{(4+2i)\pm2}2$ : $z_1=\dfrac{6+2i}2=3+i$ et $z_2=\dfrac{2+2i}2=1+i$.

Exercice 8 — Vérification par les relations coefficients-racines

Moyen

Vérifier les racines de l'exercice 7 à l'aide des relations $z_1+z_2=-b/a$ et $z_1z_2=c/a$.

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  1. Rappeler les racines trouvées. $z_1=3+i$, $z_2=1+i$ (exercice 7), avec $a=1$, $b=-(4+2i)$, $c=2+4i$.
  2. Calculer la somme $z_1+z_2$. $(3+i)+(1+i)=4+2i$.
  3. Comparer à $-b/a$. $-b/a=-(-(4+2i))/1=4+2i$ : les deux valeurs coïncident ✓.
  4. Calculer le produit $z_1z_2$. $(3+i)(1+i)=3+3i+i+i^2=3+4i-1=2+4i$.
  5. Comparer à $c/a$. $c/a=2+4i$ : ça coïncide aussi ✓. Les deux relations valident donc le résultat trouvé.

Exercice 9 — Racine double

Moyen

Résoudre $z^2-2iz-1=0$.

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  1. Identifier les coefficients. $a=1$, $b=-2i$, $c=-1$.
  2. Calculer le discriminant. $\Delta=b^2-4ac=(-2i)^2-4(1)(-1)=-4+4=0$.
  3. Comme $\Delta=0$, l'équation admet une racine double (le cas particulier signalé dans le théorème du cours §2) : $z=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{2i}2=i$.
  4. Vérifier en développant $(z-i)^2$ : $(z-i)^2=z^2-2iz+i^2=z^2-2iz-1$, qui correspond bien à l'équation de départ ✓.

Exercice 10 — Racine double, coefficients réels

Facile

Résoudre $z^2-6z+9=0$.

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  1. Calculer le discriminant. $\Delta=(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0$.
  2. Comme $\Delta=0$, la racine est double. $z=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac62=3$.
  3. Vérifier. $(z-3)^2=z^2-6z+9$, qui redonne bien l'équation de départ ✓ (ici la racine double est purement réelle, un cas particulier possible même en travaillant dans $\mathbb C$).

Exercice 11 — Application : oscillateur mécanique

Moyen

Un système masse-ressort-amortisseur a pour équation caractéristique $z^2+4z+8=0$ (masse, amortissement et raideur normalisés). Résoudre cette équation et interpréter le résultat.

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  1. Calculer le discriminant. $\Delta=4^2-4(1)(8)=16-32=-16$.
  2. Comme les coefficients sont réels et $\Delta<0$, appliquer la formule directe. $\sqrt\Delta=i\sqrt{16}=4i$.
  3. Calculer les racines. $z_{1,2}=\dfrac{-4\pm4i}2=-2\pm2i$.
  4. Interpréter physiquement le résultat. Les racines complexes conjuguées $-2\pm2i$ correspondent à un régime oscillatoire amorti : la partie réelle négative ($-2$) pilote la décroissance de l'amplitude au cours du temps, tandis que la partie imaginaire ($\pm2$) donne la pulsation des oscillations — un lien direct avec le chapitre « Équations différentielles ».

Exercice 12 — Racine carrée (3)

Moyen

Trouver les racines carrées de $Z=7-24i$.

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  1. Identifier $A$ et $B$. $A=7$, $B=-24$.
  2. Calculer le module. $|Z|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
  3. Calculer $x^2$ et $y^2$. $x^2=\dfrac{25+7}2=16\Rightarrow x=\pm4$ ; $y^2=\dfrac{25-7}2=9\Rightarrow y=\pm3$.
  4. Fixer le signe. $B=-24<0$ : signes opposés.
  5. Conclure. Racines : $4-3i$ et $-4+3i$.

Exercice 13 — Construire une équation à partir de ses racines

Moyen

Former l'équation du second degré (unitaire, $a=1$) admettant pour racines $2-3i$ et $2+3i$.

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  1. Utiliser le principe inverse des relations coefficients-racines : connaissant $z_1$ et $z_2$, on peut reconstruire l'équation $z^2-(\text{somme})z+(\text{produit})=0$.
  2. Calculer la somme. $(2-3i)+(2+3i)=4$.
  3. Calculer le produit (une paire de complexes conjugués, donc produit réel) : $(2-3i)(2+3i)=2^2+3^2=4+9=13$.
  4. Substituer dans le modèle. $z^2-4z+13=0$.

Exercice 14 — Racines conjuguées pour coefficients réels

Difficile

Montrer que si $a,b,c$ sont réels et $z_0$ est une racine non réelle de $az^2+bz+c=0$, alors $\bar z_0$ est aussi une racine.

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  1. Écrire l'hypothèse. $z_0$ étant racine, $az_0^2+bz_0+c=0$.
  2. Conjuguer toute l'égalité (le conjugué d'un nombre nul est nul) : $\overline{az_0^2+bz_0+c}=0$.
  3. Distribuer le conjugué sur la somme et les produits grâce aux propriétés $\overline{z+z'}=\bar z+\overline{z'}$ et $\overline{zz'}=\bar z\,\overline{z'}$ : $\bar a\,\bar z_0^2+\bar b\,\bar z_0+\bar c=0$.
  4. Utiliser le fait que $a,b,c$ sont réels (donc égaux à leur propre conjugué) : $\bar a=a$, $\bar b=b$, $\bar c=c$.
  5. Conclure. L'égalité devient $a\bar z_0^2+b\bar z_0+c=0$ : $\bar z_0$ est bien racine de la même équation.

Exercice 15 — Coefficient dominant imaginaire pur

Difficile

Résoudre $iz^2+z+i=0$.

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  1. Identifier les coefficients. $a=i$, $b=1$, $c=i$.
  2. Calculer le discriminant. $\Delta=1^2-4(i)(i)=1-4i^2=1+4=5$ — un discriminant réel positif, malgré des coefficients complexes.
  3. Extraire la racine carrée de $\Delta$. $\Delta=5>0$ réel, donc $\sqrt\Delta=\sqrt5$ (la racine carrée réelle usuelle).
  4. Appliquer la formule des racines avec $a=i$ au dénominateur : $z_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2i}$.
  5. Simplifier en multipliant haut et bas par $-i$ (pour éliminer le $i$ au dénominateur, $-i\times i=1$) : $z_{1,2}=\dfrac{-i(-1\pm\sqrt5)}{2}$.
  6. Conclure. $z_1=\dfrac{(1-\sqrt5)}{2}i\approx-0{,}618i$ et $z_2=\dfrac{(1+\sqrt5)}2i\approx1{,}618i$ — deux imaginaires purs, dont les coefficients font apparaître le nombre d'or $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$.

Exercice 16 — Retrouver un coefficient manquant

Moyen

Une équation $z^2+bz+c=0$ (coefficients complexes) a pour racines $1+i$ et $2-i$. Déterminer $b$ et $c$.

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  1. Utiliser les relations coefficients-racines à l'envers : ici $a=1$, donc $z_1+z_2=-b$ et $z_1z_2=c$.
  2. Calculer la somme. $(1+i)+(2-i)=3$.
  3. En déduire $b$. $-b=3 \Rightarrow b=-3$.
  4. Calculer le produit. $(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=2+i+1=3+i$.
  5. En déduire $c$. $c=3+i$.

Exercice 17 — Condition de racine double

Moyen

Pour quelle valeur du paramètre réel $k$ l'équation $z^2-4z+k=0$ admet-elle une racine double ?

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  1. Rappeler la condition de racine double : le discriminant doit être nul.
  2. Calculer $\Delta$ en fonction de $k$. $\Delta=(-4)^2-4(1)(k)=16-4k$.
  3. Poser $\Delta=0$ et résoudre en $k$. $16-4k=0 \Rightarrow k=4$.
  4. Vérifier en substituant $k=4$. $z^2-4z+4=(z-2)^2$, dont l'unique racine (double) est bien $z=2$.

Exercice 18 — Application : circuit RLC

Difficile

L'équation caractéristique d'un circuit RLC série s'écrit $z^2+\dfrac{R}{L}z+\dfrac1{LC}=0$. Pour $R=2\,\Omega$, $L=1\,\mathrm H$, $C=0{,}125\,\mathrm F$, résoudre cette équation.

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  1. Calculer les coefficients numériques de l'équation. $\dfrac RL=\dfrac21=2$ et $\dfrac1{LC}=\dfrac1{1\times0{,}125}=8$.
  2. Écrire l'équation à résoudre. $z^2+2z+8=0$.
  3. Calculer le discriminant. $\Delta=2^2-4(1)(8)=4-32=-28$.
  4. Extraire la racine carrée (coefficients réels, $\Delta<0$) : $\sqrt\Delta=i\sqrt{28}=2i\sqrt7$.
  5. Appliquer la formule des racines. $z_{1,2}=\dfrac{-2\pm2i\sqrt7}2=-1\pm i\sqrt7\approx-1\pm2{,}646i$.
  6. Interpréter. Un régime oscillatoire amorti, comme pour l'oscillateur mécanique de l'exercice 11 — les deux systèmes physiques partagent exactement la même structure mathématique.

Exercice 19 — Les deux racines carrées sont opposées

Moyen

Montrer que si $\delta$ est une racine carrée de $Z$, alors $-\delta$ en est une autre, et qu'il n'y en a pas d'autres.

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  1. Montrer que $-\delta$ est bien racine. Si $\delta^2=Z$, alors $(-\delta)^2=(-1)^2\delta^2=\delta^2=Z$ : $-\delta$ est donc aussi une racine carrée de $Z$.
  2. Passer à l'unicité : supposer une autre racine $\delta'$ telle que $\delta'^2=Z$.
  3. Soustraire les deux égalités. $\delta'^2-\delta^2=Z-Z=0$.
  4. Factoriser avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $(\delta'-\delta)(\delta'+\delta)=0$.
  5. Conclure grâce à la structure de corps de $\mathbb C$ (pas de diviseur de zéro) : $\delta'-\delta=0$ ou $\delta'+\delta=0$, donc $\delta'=\delta$ ou $\delta'=-\delta$. Il n'existe donc exactement que deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.

Exercice 20 — Synthèse

Difficile

Résoudre $z^2-(1+3i)z+(-2+2i)=0$, puis vérifier le résultat par les relations coefficients-racines.

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  1. Identifier les coefficients. $a=1$, $b=-(1+3i)$, $c=-2+2i$.
  2. Calculer $b^2$. $(1+3i)^2=1+6i+9i^2=1+6i-9=-8+6i$.
  3. Calculer $4ac$. $4\times1\times(-2+2i)=-8+8i$.
  4. En déduire $\Delta=b^2-4ac$. $\Delta=(-8+6i)-(-8+8i)=-2i$.
  5. Extraire une racine carrée de $\Delta=-2i$ (méthode du §1) : $|\Delta|=2$. $x^2=\dfrac{2+0}2=1\Rightarrow x=\pm1$ ; $y^2=\dfrac{2-0}2=1\Rightarrow y=\pm1$ ; $B=-2<0$ impose des signes opposés, donc $\delta=1-i$ (vérification : $(1-i)^2=1-2i-1=-2i$ ✓).
  6. Appliquer la formule des racines. $z_1=\dfrac{(1+3i)+(1-i)}2=\dfrac{2+2i}2=1+i$ et $z_2=\dfrac{(1+3i)-(1-i)}2=\dfrac{4i}2=2i$.
  7. Vérifier avec les relations coefficients-racines. $z_1+z_2=(1+i)+2i=1+3i=-b$ ✓ ; $z_1z_2=(1+i)(2i)=2i+2i^2=-2+2i=c$ ✓.
Progression Score : 0 / 10

Sujet 1 — Contrôle de connaissances

Mathématiques générales · 3iL Ingénieurs · Durée indicative : 35 min

Exercice A (14 points) — Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2-(4+i)z+(5-i)=0$.

1. Calculer le discriminant $\Delta$. (4 pts)

2. Déterminer une racine carrée de $\Delta$. (6 pts)

3. En déduire les deux racines de l'équation, et vérifier à l'aide des relations coefficients-racines. (4 pts)

Exercice B — Question de cours (6 points)

Expliquer pourquoi, contrairement au cas réel, il n'y a pas lieu de distinguer plusieurs cas selon le « signe » du discriminant lorsque les coefficients de l'équation sont complexes.

Voir le corrigé complet
  1. A.1. $\Delta=(4+i)^2-4(5-i)=(16+8i-1)-(20-4i)=(15+8i)-(20-4i)=-5+12i$.
  2. A.2. $|\Delta|=\sqrt{25+144}=13$. $x^2=\dfrac{13-5}2=4\Rightarrow x=2$. $y^2=\dfrac{13+5}2=9\Rightarrow y=3$. $B=12>0$ : mêmes signes. $\delta=2+3i$ (vérification : $(2+3i)^2=4+12i-9=-5+12i$ ✓).
  3. A.3. $z_1=\dfrac{(4+i)+(2+3i)}2=\dfrac{6+4i}2=3+2i$. $z_2=\dfrac{(4+i)-(2+3i)}2=\dfrac{2-2i}2=1-i$.
  4. Vérification : $z_1+z_2=(3+2i)+(1-i)=4+i$ ✓. $z_1z_2=(3+2i)(1-i)=3-3i+2i-2i^2=3-i+2=5-i$ ✓.
  5. B. La notion de « signe » d'un nombre n'a de sens que dans $\mathbb R$ (un ordre total compatible avec les opérations). $\mathbb C$ n'est pas ordonné de cette façon : la question « $\Delta$ est-il positif ou négatif ? » n'a tout simplement pas de sens pour un complexe non réel. Ce qui compte est uniquement l'existence d'une racine carrée de $\Delta$ — et comme tout complexe (nul ou non) possède une (des) racine(s) carrée(s) dans $\mathbb C$, l'équation admet toujours ses deux solutions, sans qu'il soit besoin de distinguer des cas.

Sujet 2 — Application ingénieur : pôles d'un filtre électronique

Mathématiques générales · 3iL Ingénieurs · Durée indicative : 25 min

La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du second ordre a pour dénominateur (équation caractéristique, variable de Laplace $s$) : $s^2+6s+25=0$.

1. Calculer le discriminant et en déduire les pôles $s_1,s_2$ du filtre. (8 pts)

2. Les pôles obtenus sont de la forme $s=-\alpha\pm i\omega_0$. Identifier $\alpha$ (facteur d'amortissement) et $\omega_0$ (pseudo-pulsation). (4 pts)

3. Un filtre est dit stable si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative. Ce filtre est-il stable ? (4 pts)

4. Que se passerait-il physiquement si un pôle avait une partie réelle strictement positive ? (4 pts)

Voir le corrigé complet
  1. 1. $\Delta=36-100=-64$. $\sqrt\Delta=8i$. $s_{1,2}=\dfrac{-6\pm8i}2=-3\pm4i$.
  2. 2. $s=-\alpha\pm i\omega_0$ avec $\alpha=3$ et $\omega_0=4$ (rad/s).
  3. 3. Les deux pôles ont pour partie réelle $-3<0$ : le filtre est bien stable.
  4. 4. Un pôle à partie réelle strictement positive correspondrait à un terme exponentiel croissant dans la réponse temporelle du système (lien direct avec le chapitre « Équations différentielles ») : la sortie du filtre divergerait avec le temps au lieu de s'amortir, un comportement instable inacceptable dans un système réel — c'est précisément pour cette raison que l'étude des pôles d'un système (via la résolution d'équations polynomiales, ici du second degré) est centrale en automatique et en traitement du signal.
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