Extraire une racine carrée d'un complexe quelconque, puis résoudre az²+bz+c=0 dans ℂ : toute équation du second degré y admet exactement deux racines.
Avant de résoudre une équation du second degré, il faut savoir extraire une racine carrée d'un complexe quelconque $Z=A+iB$ — c'est-à-dire trouver $\delta=x+iy$ tel que $\delta^2=Z$.
$\delta^2=Z \iff (x+iy)^2=A+iB \iff \begin{cases}x^2-y^2=A\\2xy=B\end{cases}$. En ajoutant l'équation des modules $x^2+y^2=|Z|=\sqrt{A^2+B^2}$ (car $|\delta^2|=|\delta|^2=|Z|$), on obtient un système résolu par :
$$x^2 = \frac{|Z|+A}{2}, \qquad y^2 = \frac{|Z|-A}{2}, \qquad \mathrm{sign}(xy)=\mathrm{sign}(B)$$
On obtient $x$ et $y$ au signe près (deux racines carrées opposées $\pm\delta$, comme pour les réels positifs). Le signe relatif de $x$ et $y$ est imposé par le signe de $B=2xy$.
Cherchons les racines carrées de $Z=3+4i$.
$|Z|=\sqrt{9+16}=5$. $x^2=\dfrac{5+3}2=4\Rightarrow x=\pm2$. $y^2=\dfrac{5-3}2=1\Rightarrow y=\pm1$.
$B=4>0$ donc $x$ et $y$ ont même signe : les racines sont $\delta=2+i$ et $-\delta=-2-i$. Vérification : $(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i$ ✓.
Pour $a,b,c\in\mathbb C$, $a\neq0$, on procède exactement comme dans $\mathbb R$, en complétant le carré :
$$az^2+bz+c = a\left(z+\frac b{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant (complexe en général). Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ (au sens du §1). L'équation admet toujours exactement deux racines (éventuellement confondues) :
$$z_1 = \frac{-b+\delta}{2a}, \qquad z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}$$
Dans $\mathbb C$, tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées (§1) : l'équation du second degré admet donc toujours deux solutions dans $\mathbb C$, qu'elles soient réelles ou non — il n'y a plus de distinction de cas $\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$ comme dans $\mathbb R$ (ce n'est que le signe du discriminant, une notion qui n'a plus de sens pour un $\Delta$ complexe). Le cas $\Delta=0$ reste particulier : les deux racines sont alors confondues ($z_1=z_2=-b/2a$).
Si $a,b,c\in\mathbb R$ et $\Delta=b^2-4ac<0$, alors $-\Delta>0$ et une racine carrée de $\Delta$ est simplement $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ (racine carrée réelle usuelle multipliée par $i$). On retrouve la formule classique vue au lycée :
$$z_{1,2} = \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$
Les deux racines sont alors conjuguées l'une de l'autre — un cas particulier de la propriété générale : si $a,b,c$ sont réels, les racines complexes non réelles d'un polynôme réel viennent toujours par paires conjuguées.
Les racines $z_1=-2+2i$ et $z_2=-2-2i$ (exemple de l'exercice 11) sont symétriques par rapport à l'axe des réels : c'est la traduction géométrique directe de la conjugaison, garantie dès que les coefficients de l'équation sont réels.
Résolvons $z^2-(3-i)z+4=0$ dans $\mathbb C$.
$\Delta = (3-i)^2-4\times4 = (9-6i-1)-16 = -8-6i$.
Racine carrée de $\Delta=-8-6i$ : $|\Delta|=\sqrt{64+36}=10$. $x^2=\dfrac{10-8}2=1\Rightarrow x=\pm1$. $y^2=\dfrac{10+8}2=9\Rightarrow y=\pm3$. Comme $B=-6<0$, $x$ et $y$ sont de signes opposés : $\delta=1-3i$ convient (on vérifie $(1-3i)^2=1-6i-9=-8-6i$ ✓).
$z_1=\dfrac{(3-i)+(1-3i)}2=\dfrac{4-4i}2=2-2i$. $z_2=\dfrac{(3-i)-(1-3i)}2=\dfrac{2+2i}2=1+i$. Les deux racines sont $\boxed{z_1=2-2i,\ z_2=1+i}$.
Comme dans $\mathbb R$, les racines $z_1,z_2$ de $az^2+bz+c=0$ vérifient :
$$z_1+z_2 = -\frac ba, \qquad z_1z_2 = \frac ca$$
Ces relations sont très utiles pour vérifier rapidement un résultat (comme dans l'exemple ci-dessus : $z_1+z_2=(2-2i)+(1+i)=3-i=-(-(3-i))$ ✓, $z_1z_2=(2-2i)(1+i)=2+2i-2i-2i^2=2+2=4$ ✓), ou pour construire une équation dont on connaît déjà les racines.
// Résolution de az²+bz+c=0 dans ℂ Δ ← b² − 4ac // racine carrée de Δ = A+iB : r ← |Δ| x ← √((r+A)/2) y ← √((r−A)/2) si B < 0 alors y ← −y δ ← x + iy z1 ← (−b + δ) / (2a) z2 ← (−b − δ) / (2a)
Trouver les racines carrées de $Z=5-12i$.
$|Z|=\sqrt{25+144}=13$. $x^2=\dfrac{13+5}2=9\Rightarrow x=\pm3$. $y^2=\dfrac{13-5}2=4\Rightarrow y=\pm2$.
$B=-12<0$ : signes opposés. Racines : $\delta=3-2i$ et $-\delta=-3+2i$.
Trouver les racines carrées de $Z=-3+4i$.
$|Z|=\sqrt{9+16}=5$. $x^2=\dfrac{5-3}2=1\Rightarrow x=\pm1$. $y^2=\dfrac{5+3}2=4\Rightarrow y=\pm2$.
$B=4>0$ : mêmes signes. Racines : $\delta=1+2i$ et $-1-2i$.
Trouver les racines carrées de $Z=8i$.
$|Z|=8$. $x^2=\dfrac{8+0}2=4\Rightarrow x=\pm2$. $y^2=\dfrac{8-0}2=4\Rightarrow y=\pm2$. $B=8>0$ : mêmes signes. Racines : $2+2i$ et $-2-2i$.
Trouver les racines carrées de $Z=-16$.
On retrouve la formule usuelle pour un réel négatif : les racines de $-16$ sont $4i$ et $-4i$ (cas particulier de la méthode générale, avec $B=0$).
Résoudre $z^2-2z+5=0$ dans $\mathbb C$.
$\Delta=4-20=-16$. $\sqrt\Delta=4i$ (cours §3, cas réel).
$z_{1,2}=\dfrac{2\pm4i}2=1\pm2i$.
Résoudre $z^2+4=0$.
$z^2=-4$, donc $z=\pm2i$ (racines carrées de $-4$).
Résoudre $z^2-(4+2i)z+(2+4i)=0$.
$\Delta=(4+2i)^2-4(2+4i)=(16+16i-4)-(8+16i)=(12+16i)-(8+16i)=4$.
$\Delta=4$ est réel positif malgré des coefficients complexes ! $\sqrt\Delta=2$. $z_{1,2}=\dfrac{(4+2i)\pm2}2$, soit $z_1=3+i$ et $z_2=1+i$.
Vérifier les racines de l'exercice 7 à l'aide des relations $z_1+z_2=-b/a$ et $z_1z_2=c/a$.
$z_1+z_2=(3+i)+(1+i)=4+2i$, qui doit égaler $-b/a=4+2i$ ✓ (car $b=-(4+2i)$).
$z_1z_2=(3+i)(1+i)=3+3i+i+i^2=3+4i-1=2+4i$, qui égale bien $c/a=2+4i$ ✓.
Résoudre $z^2-2iz-1=0$.
$\Delta=(-2i)^2-4(1)(-1)=-4+4=0$.
$\Delta=0$ : racine double $z=\dfrac{2i}2=i$. On vérifie : $(z-i)^2=z^2-2iz+i^2=z^2-2iz-1$ ✓.
Résoudre $z^2-6z+9=0$.
$\Delta=36-36=0$. Racine double $z=\dfrac62=3$ (ici purement réelle, $(z-3)^2=0$).
Un système masse-ressort-amortisseur a pour équation caractéristique $z^2+4z+8=0$ (masse, amortissement et raideur normalisés). Résoudre cette équation et interpréter le résultat.
$\Delta=16-32=-16$. $\sqrt\Delta=4i$. $z_{1,2}=\dfrac{-4\pm4i}2=-2\pm2i$.
Les racines complexes conjuguées $-2\pm2i$ correspondent à un régime oscillatoire amorti : la partie réelle négative ($-2$) pilote la décroissance de l'amplitude, la partie imaginaire ($\pm2$) donne la pulsation des oscillations (lien direct avec le chapitre « Équations différentielles »).
Trouver les racines carrées de $Z=7-24i$.
$|Z|=\sqrt{49+576}=25$. $x^2=\dfrac{25+7}2=16\Rightarrow x=\pm4$. $y^2=\dfrac{25-7}2=9\Rightarrow y=\pm3$.
$B=-24<0$ : signes opposés. Racines : $4-3i$ et $-4+3i$.
Former l'équation du second degré (unitaire, $a=1$) admettant pour racines $2-3i$ et $2+3i$.
Somme $=(2-3i)+(2+3i)=4$. Produit $=(2-3i)(2+3i)=4+9=13$ (produit de conjugués).
L'équation est $z^2-(\text{somme})z+(\text{produit})=0$, soit $z^2-4z+13=0$.
Montrer que si $a,b,c$ sont réels et $z_0$ est une racine non réelle de $az^2+bz+c=0$, alors $\bar z_0$ est aussi une racine.
On a $az_0^2+bz_0+c=0$. En conjuguant toute l'égalité : $\overline{az_0^2+bz_0+c}=\bar0=0$, soit $\bar a\bar z_0^2+\bar b\bar z_0+\bar c=0$ (en utilisant $\overline{zz'}=\bar z\overline{z'}$ et $\overline{z+z'}=\bar z+\overline{z'}$).
Comme $a,b,c$ sont réels, $\bar a=a,\bar b=b,\bar c=c$, donc $a\bar z_0^2+b\bar z_0+c=0$ : $\bar z_0$ est bien racine de la même équation.
Résoudre $iz^2+z+i=0$.
$\Delta=1^2-4(i)(i)=1-4i^2=1+4=5$ — un discriminant réel positif malgré des coefficients complexes.
$\sqrt\Delta=\sqrt5$. $z_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2i}$. En simplifiant (multiplier par $-i/-i$) : $z_1=\dfrac{(\sqrt5-1)}{2}\times(-i)\approx-0{,}618i$ et $z_2\approx1{,}618i$ — deux imaginaires purs, liés au nombre d'or $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$.
Une équation $z^2+bz+c=0$ (coefficients complexes) a pour racines $1+i$ et $2-i$. Déterminer $b$ et $c$.
$z_1+z_2=(1+i)+(2-i)=3$, donc $-b=3\Rightarrow b=-3$.
$z_1z_2=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=2+i+1=3+i$, donc $c=3+i$.
Pour quelle valeur du paramètre réel $k$ l'équation $z^2-4z+k=0$ admet-elle une racine double ?
$\Delta=16-4k=0\Rightarrow k=4$. Dans ce cas, $z^2-4z+4=(z-2)^2=0$, racine double $z=2$.
L'équation caractéristique d'un circuit RLC série s'écrit $z^2+\dfrac{R}{L}z+\dfrac1{LC}=0$. Pour $R=2\,\Omega$, $L=1\,\mathrm H$, $C=0{,}125\,\mathrm F$, résoudre cette équation.
$\dfrac RL=2$, $\dfrac1{LC}=\dfrac1{0{,}125}=8$. Équation : $z^2+2z+8=0$.
$\Delta=4-32=-28$. $\sqrt\Delta=i\sqrt{28}=2i\sqrt7$. $z_{1,2}=\dfrac{-2\pm2i\sqrt7}2=-1\pm i\sqrt7\approx-1\pm2{,}646i$ : un régime oscillatoire amorti, comme pour l'oscillateur mécanique de l'exercice 11 — les deux systèmes physiques partagent la même structure mathématique.
Montrer que si $\delta$ est une racine carrée de $Z$, alors $-\delta$ en est une autre, et qu'il n'y en a pas d'autres.
Si $\delta^2=Z$, alors $(-\delta)^2=\delta^2=Z$ : $-\delta$ est bien une racine carrée de $Z$.
Unicité : si $\delta'^2=Z=\delta^2$, alors $\delta'^2-\delta^2=0$, soit $(\delta'-\delta)(\delta'+\delta)=0$. Comme $\mathbb C$ est un corps (pas de diviseur de zéro), $\delta'=\delta$ ou $\delta'=-\delta$ : il n'y a exactement que deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.
Résoudre $z^2-(1+3i)z+(-2+2i)=0$, puis vérifier le résultat par les relations coefficients-racines.
$\Delta=(1+3i)^2-4(-2+2i)=(1+6i-9)-(-8+8i)=(-8+6i)+8-8i=0-2i=-2i$.
Racine carrée de $-2i$ : $|-2i|=2$. $x^2=\dfrac{2+0}2=1\Rightarrow x=\pm1$. $y^2=\dfrac{2-0}2=1\Rightarrow y=\pm1$. $B=-2<0$ : signes opposés. $\delta=1-i$ (on vérifie $(1-i)^2=1-2i-1=-2i$ ✓).
$z_1=\dfrac{(1+3i)+(1-i)}2=\dfrac{2+2i}2=1+i$. $z_2=\dfrac{(1+3i)-(1-i)}2=\dfrac{4i}2=2i$.
Vérification : $z_1+z_2=(1+i)+2i=1+3i$ ✓ (égal à $-b$ car $a=1$). $z_1z_2=(1+i)(2i)=2i+2i^2=-2+2i$ ✓ (égal à $c$).
Exercice A — Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $z^2-(4+i)z+(5-i)=0$.
1. Calculer le discriminant $\Delta$.
2. Déterminer une racine carrée de $\Delta$.
3. En déduire les deux racines de l'équation, et vérifier à l'aide des relations coefficients-racines.
Exercice B — Question de cours
Expliquer pourquoi, contrairement au cas réel, il n'y a pas lieu de distinguer plusieurs cas selon le « signe » du discriminant lorsque les coefficients de l'équation sont complexes.
La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du second ordre a pour dénominateur (équation caractéristique, variable de Laplace $s$) : $s^2+6s+25=0$.
1. Calculer le discriminant et en déduire les pôles $s_1,s_2$ du filtre.
2. Les pôles obtenus sont de la forme $s=-\alpha\pm i\omega_0$. Identifier $\alpha$ (facteur d'amortissement) et $\omega_0$ (pseudo-pulsation).
3. Un filtre est dit stable si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative. Ce filtre est-il stable ?
4. Que se passerait-il physiquement si un pôle avait une partie réelle strictement positive ?