Prolonger l'exponentielle à ℂ, découvrir sa périodicité, et définir le logarithme complexe — une notion à plusieurs déterminations, contrairement au cas réel.
Pour $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$, on définit l'exponentielle complexe en combinant l'exponentielle réelle (pour la partie réelle) et la formule d'Euler du chapitre précédent (pour la partie imaginaire) :
$$e^z = e^{x+iy} = e^x\,e^{iy} = e^x(\cos y+i\sin y)$$
Le module de $e^z$ est $e^x$ (toujours strictement positif) ; son argument est $y$. Cette formule redonne bien l'exponentielle réelle usuelle quand $y=0$, et la formule d'Euler quand $x=0$.
L'exponentielle complexe conserve la propriété fondamentale de l'exponentielle réelle :
$$e^{z+z'} = e^z\,e^{z'} \qquad \text{pour tous } z,z'\in\mathbb C$$
Contrairement à l'exponentielle réelle (injective sur $\mathbb R$), l'exponentielle complexe est $2i\pi$-périodique : $e^{z+2ik\pi}=e^z$ pour tout $k\in\mathbb Z$, car $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques. L'exponentielle complexe n'est donc jamais injective sur $\mathbb C$ tout entier.
Calculons $e^{1+i\pi}$.
$e^{1+i\pi} = e^1\times e^{i\pi} = e\times(-1) = -e \approx -2{,}718$ (un réel négatif, obtenu à partir d'un exposant complexe — la relation d'Euler appliquée au cas $x=1$).
On cherche à résoudre, pour $Z\in\mathbb C^*$ donné, l'équation $e^z=Z$ d'inconnue $z$. En écrivant $Z=re^{i\theta}$ ($r=|Z|>0$) et $z=x+iy$, l'équation $e^x(\cos y+i\sin y)=re^{i\theta}$ équivaut à $e^x=r$ (donc $x=\ln r$) et $y\equiv\theta\ [2\pi]$.
Pour $Z=re^{i\theta}\neq0$, les solutions de $e^z=Z$ sont :
$$z = \ln r + i(\theta+2k\pi), \qquad k\in\mathbb Z$$
Contrairement à $\mathbb R_+^*$ où $\ln$ est une fonction bien définie, sur $\mathbb C^*$ il existe une infinité de logarithmes de $Z$, tous distants d'un multiple de $2i\pi$. On appelle détermination principale celle où $\theta\in]-\pi,\pi]$ (l'argument principal), notée $\mathrm{Log}(Z) = \ln|Z|+i\arg(Z)$.
Calculons la détermination principale de $\mathrm{Log}(1+i)$.
$|1+i|=\sqrt2$, $\arg(1+i)=\dfrac\pi4$ (argument déjà dans $]-\pi,\pi]$).
$\mathrm{Log}(1+i)=\ln\sqrt2+i\dfrac\pi4 = \dfrac12\ln2+i\dfrac\pi4 \approx 0{,}347+0{,}785i$. Toutes les autres solutions de $e^z=1+i$ s'obtiennent en ajoutant $2ik\pi$ à cette valeur.
Les trois points $z_{-1},z_0,z_1$ (espacés de $2\pi$ verticalement) sont tous solutions de $e^z=1+i$ : ils convergent tous vers le même point $Z=1+i$ dans le plan d'arrivée. C'est la traduction graphique directe de la $2i\pi$-périodicité de l'exponentielle complexe.
$\mathrm{Log}(-1) = \ln1+i\pi = i\pi$ (car $|-1|=1$ et $\arg(-1)=\pi$) — un résultat qui n'existe pas dans $\mathbb R$ (le logarithme réel n'est défini que sur $\mathbb R_+^*$), mais qui prend tout son sens dans $\mathbb C$.
On a bien $\mathrm{Log}(Z)+\mathrm{Log}(Z')$ « proche » de $\mathrm{Log}(ZZ')$, mais l'égalité exacte peut échouer d'un multiple de $2i\pi$ : $\mathrm{Log}(ZZ')=\mathrm{Log}(Z)+\mathrm{Log}(Z')+2ik\pi$ pour un certain $k\in\{-1,0,1\}$, selon que les arguments « débordent » ou non de l'intervalle $]-\pi,\pi]$ lors de l'addition. Il faut donc toujours vérifier, ne jamais supposer l'égalité automatique.
// Détermination principale de Log(Z), Z ≠ 0 r ← |Z| theta ← arg(Z) // dans ]-π, π] Log(Z) ← ln(r) + i·theta
Calculer $e^{2+i\pi/2}$.
$e^{2+i\pi/2}=e^2\times e^{i\pi/2}=e^2\times i\approx7{,}389i$.
Calculer $e^{i3\pi/2}$.
$e^{i3\pi/2}=\cos\left(\dfrac{3\pi}2\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}2\right)=0-i=-i$.
Calculer $e^{\ln2+i\pi/3}$.
$e^{\ln2+i\pi/3}=e^{\ln2}\times e^{i\pi/3}=2\times\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=1+i\sqrt3\approx1+1{,}732i$.
Calculer $e^{3+2i\pi}$ et comparer à $e^3$.
$e^{3+2i\pi}=e^3\times e^{2i\pi}=e^3\times1=e^3\approx20{,}086$ : ajouter $2i\pi$ à l'exposant ne change rien, illustration directe de la $2i\pi$-périodicité (cours §2).
Calculer $\mathrm{Log}(i)$ (détermination principale).
$|i|=1$, $\arg(i)=\dfrac\pi2$. $\mathrm{Log}(i)=\ln1+i\dfrac\pi2 = i\dfrac\pi2\approx1{,}571i$.
Calculer $\mathrm{Log}(-3)$.
$|-3|=3$, $\arg(-3)=\pi$. $\mathrm{Log}(-3)=\ln3+i\pi\approx1{,}099+3{,}142i$.
Calculer $\mathrm{Log}(3+4i)$.
$|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$. $\arg(3+4i)=\arctan\left(\dfrac43\right)\approx53{,}13°\approx0{,}9273$ rad.
$\mathrm{Log}(3+4i)=\ln5+i\times0{,}9273\approx1{,}609+0{,}927i$.
Calculer $\mathrm{Log}(-1-i)$.
$|-1-i|=\sqrt2$. $\arg(-1-i)=-\dfrac{3\pi}4$ (troisième quadrant, dans $]-\pi,\pi]$).
$\mathrm{Log}(-1-i)=\dfrac12\ln2-i\dfrac{3\pi}4\approx0{,}347-2{,}356i$.
Donner l'ensemble des solutions de $e^z=2i$.
$|2i|=2$, $\arg(2i)=\dfrac\pi2$.
Toutes les solutions : $z=\ln2+i\left(\dfrac\pi2+2k\pi\right)$, $k\in\mathbb Z$ — une infinité de solutions, toutes distantes de $2i\pi$ (cours §4).
Résoudre $e^z=-4$ dans $\mathbb C$.
$|-4|=4$, $\arg(-4)=\pi$. Solutions : $z=\ln4+i(\pi+2k\pi)=2\ln2+i\pi(2k+1)$, $k\in\mathbb Z$ — toujours un multiple impair de $i\pi$ ajouté à $\ln4$.
Pour $z_1=2e^{i170°}$ et $z_2=3e^{i170°}$, vérifier que $\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)\neq\mathrm{Log}(z_1z_2)$.
$\mathrm{Log}(z_1)=\ln2+i\times170°(\text{en rad})\approx0{,}693+2{,}967i$. $\mathrm{Log}(z_2)=\ln3+i\times170°(\text{rad})\approx1{,}099+2{,}967i$. Somme $\approx1{,}792+5{,}934i$.
$z_1z_2=6e^{i340°}$, mais $340°$ n'est pas dans $]-180°,180°]$ : l'argument principal est $340°-360°=-20°$. Donc $\mathrm{Log}(z_1z_2)=\ln6+i\times(-20°\text{ en rad})\approx1{,}792-0{,}349i$.
Les deux résultats diffèrent exactement de $2i\pi$ (les parties réelles coïncident, $5{,}934-(-0{,}349)=6{,}283\approx2\pi$) : un exemple concret du piège signalé en cours (§6), dû au dépassement de l'intervalle $]-\pi,\pi]$ lors de l'addition des arguments.
Sans calculer $e^z$ explicitement, donner le module et l'argument de $e^{4-i\pi/5}$.
Module $=e^{\mathrm{Re}(z)}=e^4\approx54{,}6$. Argument $=\mathrm{Im}(z)=-\dfrac\pi5$ (−36°).
Un modèle vibratoire amorti s'écrit $A(t)=A_0e^{(-0{,}5+3i)t}$. Que représentent les parties réelle et imaginaire de l'exposant $(-0{,}5+3i)$ physiquement ?
$|A(t)|=A_0e^{-0{,}5t}$ : la partie réelle négative ($-0{,}5$) pilote l'amortissement exponentiel de l'amplitude. La partie imaginaire ($3$) est la pulsation de l'oscillation (argument $3t$, croissant linéairement, donnant la fréquence des oscillations) — un exemple classique où l'exponentielle complexe encode en une seule formule à la fois l'amortissement et l'oscillation d'un système physique.
Montrer que $e^z\neq0$ pour tout $z\in\mathbb C$.
$|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}$, et l'exponentielle réelle est toujours strictement positive, quel que soit $\mathrm{Re}(z)\in\mathbb R$. Donc $|e^z|>0$, ce qui exclut $e^z=0$ (dont le module serait nul) — c'est pourquoi $0$ n'a aucun logarithme complexe.
Vrai ou faux : « l'exponentielle complexe est une fonction injective sur $\mathbb C$ ».
Faux (cours §2) : $e^z=e^{z+2i\pi}$ pour tout $z$, donc deux valeurs distinctes de $z$ (différant d'un multiple de $2i\pi$) donnent la même image — l'exponentielle complexe n'est jamais injective sur $\mathbb C$ entier.
Résoudre $e^{2z}=1+i$ dans $\mathbb C$.
$|1+i|=\sqrt2$, $\arg(1+i)=\dfrac\pi4$. Donc $2z=\dfrac12\ln2+i\left(\dfrac\pi4+2k\pi\right)$, $k\in\mathbb Z$.
$z=\dfrac14\ln2+i\left(\dfrac\pi8+k\pi\right)$, $k\in\mathbb Z$.
Pourquoi peut-on affirmer sans calcul que $e^{5}$ (exponentielle réelle usuelle) et $e^{5+i0}$ (exponentielle complexe) désignent le même nombre ?
$e^{5+i0}=e^5(\cos0+i\sin0)=e^5\times1=e^5$ : la définition de l'exponentielle complexe (cours §1) redonne exactement l'exponentielle réelle quand la partie imaginaire est nulle, ce qui garantit la cohérence entre les deux notions.
Calculer $|e^{i\alpha}-e^{i\beta}|$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$ (indication : factoriser par l'angle moyen).
$e^{i\alpha}-e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)/2}\left(e^{i(\alpha-\beta)/2}-e^{-i(\alpha-\beta)/2}\right)=e^{i(\alpha+\beta)/2}\times2i\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)$.
Le module du premier facteur vaut 1, donc $|e^{i\alpha}-e^{i\beta}| = 2\left|\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)\right|$ — une formule classique reliant distance entre deux points du cercle unité et différence de leurs angles.
Vérifier que pour $z_1=1+i$ et $z_2=1-i$, on a bien $\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)=\mathrm{Log}(z_1z_2)$ (contrairement à l'exercice 11).
$\mathrm{Log}(z_1)=\dfrac12\ln2+i\dfrac\pi4$. $\mathrm{Log}(z_2)=\dfrac12\ln2-i\dfrac\pi4$. Somme $=\ln2+0i=\ln2$.
$z_1z_2=(1+i)(1-i)=1-i^2=2$. $\mathrm{Log}(2)=\ln2$ (un réel positif, argument nul). Les deux coïncident ici : l'additivité fonctionne quand la somme des arguments individuels reste dans $]-\pi,\pi]$, ce qui est bien le cas ($\pi/4+(-\pi/4)=0$).
Résoudre $e^z=-e$ (où $e\approx2{,}718$ est la base du logarithme népérien) et exprimer les solutions sous la forme la plus simple possible.
$|-e|=e$, $\arg(-e)=\pi$ (un réel négatif). Donc $z=\ln(e)+i(\pi+2k\pi)=1+i\pi(2k+1)$, $k\in\mathbb Z$.
La solution principale ($k=0$) est $z=1+i\pi$, cohérente avec l'identité $e^{1+i\pi}=e\times e^{i\pi}=e\times(-1)=-e$ (exercice 3 du chapitre précédent, exemple similaire).
Exercice A
1. Calculer $e^{2-i\pi/3}$ sous forme algébrique.
2. Calculer $\mathrm{Log}(-2+2i\sqrt3)$ (détermination principale).
Exercice B — Question de cours
Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $e^z=-4i$, et expliquer pourquoi cette équation admet une infinité de solutions alors que l'équation réelle analogue $e^x=c$ ($c>0$) n'en admet qu'une.
Un système mécanique amorti (suspension, circuit RLC) est modélisé par $A(t)=A_0\,e^{(-a+i\omega)t}$, avec $A_0=10$, $a=0{,}2\,\mathrm{s}^{-1}$ (coefficient d'amortissement), $\omega=5\,\mathrm{rad/s}$ (pulsation).
1. Exprimer $|A(t)|$ et l'argument de $A(t)$ en fonction de $t$, sans calculer de valeur numérique.
2. Calculer $|A(t)|$ pour $t=1$, $t=2$ et $t=3$ secondes.
3. Au bout de combien de temps l'amplitude a-t-elle été divisée par 2 (« temps de demi-vie » de l'oscillation) ?
4. Pourquoi cette écriture complexe unique est-elle préférée, en pratique, à une écriture séparée du type $A_0e^{-at}\cos(\omega t+\varphi)$ pour les calculs (même si les deux décrivent le même phénomène physique) ?