Généraliser les racines carrées : résoudre zⁿ=Z dans ℂ, découvrir que les n solutions forment toujours un polygone régulier — base de la transformée de Fourier discrète.
Le chapitre précédent a montré que tout complexe non nul admet exactement 2 racines carrées. On généralise ici : pour $n\ge2$ entier et $Z\in\mathbb C^*$, on cherche les complexes $z$ tels que $z^n=Z$.
On commence par le cas $Z=1$. Cherchons $z=re^{i\theta}$ tel que $z^n=1$. Par la formule du produit (chapitre « Forme trigonométrique »), $z^n=r^ne^{in\theta}$, donc :
$$r^ne^{in\theta} = 1 = 1\cdot e^{i0} \iff r^n=1 \text{ et } n\theta \equiv 0\ [2\pi]$$
Comme $r>0$, $r^n=1\Rightarrow r=1$. Et $n\theta=2k\pi\Rightarrow\theta=\dfrac{2k\pi}n$, pour $k\in\mathbb Z$. En ne gardant que les valeurs distinctes modulo $2\pi$ (soit $k=0,1,\dots,n-1$) :
L'équation $z^n=1$ admet exactement $n$ solutions distinctes, appelées racines $n$-ièmes de l'unité :
$$\omega_k = e^{i2k\pi/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1$$
Les 6 racines de $z^6=1$ forment un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité, sommet $\omega_0=1$ compris — c'est le résultat général : les racines $n$-ièmes de l'unité sont toujours les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.
Pour $Z=Re^{i\Theta}\neq0$ quelconque ($R=|Z|>0$), on cherche $z^n=Z$. Le même raisonnement donne $r=R^{1/n}$ (racine $n$-ième réelle positive de $R$) et $n\theta\equiv\Theta\ [2\pi]$ :
Les $n$ racines $n$-ièmes de $Z=Re^{i\Theta}$ sont :
$$z_k = R^{1/n}\,e^{i(\Theta+2k\pi)/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1$$
Géométriquement, ces $n$ racines sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $0$ et de rayon $R^{1/n}$ (et non de rayon 1, sauf si $R=1$).
$Z=8=8e^{i0}$. $R^{1/3}=8^{1/3}=2$. Les 3 racines sont $z_k=2e^{i2k\pi/3}$ pour $k=0,1,2$ :
$z_0=2e^{i0}=2$.
$z_1=2e^{i2\pi/3}=2\left(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-1+i\sqrt3\approx-1+1{,}732i$.
$z_2=2e^{i4\pi/3}=2\left(-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-1-i\sqrt3\approx-1-1{,}732i$. On retrouve la racine réelle usuelle $z_0=2$, plus deux racines complexes conjuguées.
Si $z_0$ est une racine $n$-ième particulière de $Z$, alors toutes les racines $n$-ièmes de $Z$ s'obtiennent en multipliant $z_0$ par les racines $n$-ièmes de l'unité :
$$\{z : z^n=Z\} = \{z_0\,\omega_k : k=0,\dots,n-1\}$$
En effet, $(z_0\omega_k)^n = z_0^n\omega_k^n = Z\times1=Z$. C'est cette propriété qui explique pourquoi les $n$ racines forment toujours un polygone régulier : elles sont obtenues en faisant « tourner » une racine de référence $z_0$ par les rotations d'angle $2k\pi/n$.
// Racines n-ièmes de Z = R·e^(iΘ) R ← |Z| ; Θ ← arg(Z) pour k = 0 à n−1 faire z_k ← R^(1/n) · e^(i(Θ+2kπ)/n) fin pour
Donner les racines carrées de l'unité (solutions de $z^2=1$).
$\omega_k=e^{i2k\pi/2}=e^{ik\pi}$ pour $k=0,1$ : $\omega_0=1$ et $\omega_1=e^{i\pi}=-1$. On retrouve les deux racines carrées réelles usuelles.
Donner les racines cubiques de l'unité (solutions de $z^3=1$) sous forme algébrique.
$\omega_k=e^{i2k\pi/3}$ pour $k=0,1,2$.
$\omega_0=1$. $\omega_1=e^{i2\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$. $\omega_2=e^{i4\pi/3}=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$.
Donner les racines 4-ièmes de l'unité.
$\omega_k=e^{ik\pi/2}$ pour $k=0,1,2,3$ : $\omega_0=1,\,\omega_1=i,\,\omega_2=-1,\,\omega_3=-i$.
Montrer que pour $n\ge2$, la somme des $n$ racines $n$-ièmes de l'unité vaut $0$.
La somme $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k$ (avec $\omega=e^{i2\pi/n}\neq1$) est une somme géométrique de raison $\omega$ :
$S=\dfrac{\omega^n-1}{\omega-1}=\dfrac{1-1}{\omega-1}=0$ (car $\omega^n=e^{i2\pi}=1$, et $\omega\neq1$ pour $n\ge2$ donc le dénominateur ne s'annule pas).
Résoudre $z^3=-1$.
$Z=-1=e^{i\pi}$. $z_k=e^{i(\pi+2k\pi)/3}$ pour $k=0,1,2$.
$z_0=e^{i\pi/3}=0{,}5+0{,}866i$. $z_1=e^{i\pi}=-1$. $z_2=e^{i5\pi/3}=0{,}5-0{,}866i$.
Retrouver les racines carrées de $i$ via la formule des racines $n$-ièmes.
$i=e^{i\pi/2}$. $z_k=e^{i(\pi/2+2k\pi)/2}$ pour $k=0,1$.
$z_0=e^{i\pi/4}=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\approx0{,}707+0{,}707i$. $z_1=e^{i5\pi/4}=-0{,}707-0{,}707i$ — on retrouve bien deux racines opposées, comme au chapitre précédent.
Résoudre $z^4=-16$.
$-16=16e^{i\pi}$. $R^{1/4}=16^{1/4}=2$. $z_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/4}$ pour $k=0,1,2,3$.
$z_0=2e^{i\pi/4}\approx1{,}414+1{,}414i$. $z_1\approx-1{,}414+1{,}414i$. $z_2\approx-1{,}414-1{,}414i$. $z_3\approx1{,}414-1{,}414i$.
Résoudre $z^3=27i$.
$27i=27e^{i\pi/2}$. $R^{1/3}=27^{1/3}=3$. $z_k=3e^{i(\pi/2+2k\pi)/3}$.
$z_0=3e^{i\pi/6}\approx2{,}598+1{,}5i$. $z_1=3e^{i5\pi/6}\approx-2{,}598+1{,}5i$. $z_2=3e^{i3\pi/2}=-3i$.
Calculer le produit des 4 racines 4-ièmes de l'unité, puis celui des 5 racines 5-ièmes.
Produit $=e^{i2\pi(0+1+\cdots+(n-1))/n}=e^{i2\pi\cdot n(n-1)/2/n}=e^{i\pi(n-1)}=(-1)^{n-1}$.
Pour $n=4$ : $(-1)^3=-1$. Pour $n=5$ : $(-1)^4=1$. On retrouve numériquement ces deux valeurs en multipliant explicitement les racines.
La transformée de Fourier discrète (TFD, très utilisée en traitement du signal) repose sur les racines $n$-ièmes de l'unité $\omega_k=e^{-i2\pi k/n}$. Pourquoi ces racines particulières sont-elles un choix naturel pour analyser un signal périodique échantillonné sur $n$ points ?
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les seuls complexes de module 1 qui, élevés à la puissance $n$, redonnent exactement $1$ : elles représentent donc les fréquences discrètes exactement compatibles avec un signal échantillonné sur $n$ points périodiques. Utiliser ces racines comme base de décomposition (plutôt que des fréquences arbitraires) garantit que la reconstruction du signal à partir de ses composantes fréquentielles est exacte et sans redondance — c'est le fondement mathématique de la TFD et de l'algorithme FFT.
Pour $Z$ réel positif, combien des $n$ racines $n$-ièmes de $Z$ sont réelles, selon la parité de $n$ ?
Si $n$ est impair, une seule racine est réelle (la racine positive usuelle) ; les $n-1$ autres se regroupent par paires conjuguées non réelles. Si $n$ est pair, exactement deux racines sont réelles ($+R^{1/n}$ et $-R^{1/n}$, correspondant à $k=0$ et $k=n/2$) ; les $n-2$ restantes se regroupent par paires conjuguées.
Résoudre $z^3=1+i$.
$|1+i|=\sqrt2$, $\arg(1+i)=\dfrac\pi4$. $R^{1/3}=2^{1/6}\approx1{,}122$.
$z_k=2^{1/6}e^{i(\pi/4+2k\pi)/3}$. $z_0\approx1{,}084+0{,}291i$, $z_1\approx-0{,}794+0{,}794i$, $z_2\approx-0{,}291-1{,}084i$.
Deux racines $n$-ièmes de l'unité consécutives, $\omega_k$ et $\omega_{k+1}$, sont-elles également espacées quel que soit $k$ ? Justifier à l'aide du chapitre « Exponentielle et logarithme ».
Oui : $|\omega_{k+1}-\omega_k|=|e^{i(k+1)2\pi/n}-e^{ik2\pi/n}|=2\left|\sin\left(\dfrac{2\pi/n}2\right)\right|=2\sin\left(\dfrac\pi n\right)$ (formule établie au chapitre précédent, exercice 18), une valeur indépendante de $k$ : les racines sont bien régulièrement espacées, cohérent avec le fait qu'elles forment un polygone régulier.
Vrai ou faux : « les racines $n$-ièmes d'un complexe $Z\neq0$ ont toutes le même module ».
Vrai : toutes valent $R^{1/n}=|Z|^{1/n}$ (cours §3) — seul l'argument varie d'une racine à l'autre, ce qui explique qu'elles soient toutes situées sur un même cercle centré en 0.
Vérifier que la somme des 3 racines cubiques de $8$ (calculées au cours §4) vaut $0$.
$z_0+z_1+z_2 = 2+(-1+i\sqrt3)+(-1-i\sqrt3) = 2-1-1+i\sqrt3-i\sqrt3 = 0$ ✓, conforme au résultat général de l'exercice 4 (la propriété reste vraie pour les racines de $Z$ quelconque, pas seulement pour celles de l'unité, car ce sont les racines de l'unité multipliées par une racine fixe $z_0$, cours §5).
Une roue dentée possède $n=8$ dents régulièrement réparties sur un cercle de rayon $5$ cm. Modéliser les positions des dents à l'aide des racines 8-ièmes d'un complexe bien choisi.
Les positions des dents sont les racines 8-ièmes de $Z=5^8$ (un réel positif quelconque dont le module à la puissance $1/8$ redonne $5$) : $p_k=5e^{i2k\pi/8}=5e^{ik\pi/4}$, $k=0,\dots,7$ — c'est exactement la structure des racines $n$-ièmes de l'unité, mise à l'échelle par le rayon $5$.
Montrer que multiplier une racine $n$-ième $z_k$ par $\omega=e^{i2\pi/n}$ donne une autre racine $n$-ième de $Z$.
$(z_k\omega)^n=z_k^n\omega^n=Z\times1=Z$ (car $\omega^n=1$, $\omega$ étant une racine $n$-ième de l'unité) : $z_k\omega$ est bien une racine $n$-ième de $Z$ — c'est précisément la rotation d'angle $2\pi/n$ qui fait passer d'une racine à la suivante sur le polygone régulier.
Résoudre $z^6=-64$.
$-64=64e^{i\pi}$. $R^{1/6}=64^{1/6}=2$. $z_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/6}$, $k=0,\dots,5$.
$z_0\approx1{,}732+i$, $z_1=2i$, $z_2\approx-1{,}732+i$, $z_3\approx-1{,}732-i$, $z_4=-2i$, $z_5\approx1{,}732-i$ — six points formant un hexagone régulier de rayon 2, tourné de 30° par rapport à celui des racines de l'unité (car l'argument de départ n'est pas nul ici).
Écrire $z^3-1$ comme produit de facteurs du premier degré dans $\mathbb C[z]$.
Les racines de $z^3-1=0$ sont exactement les racines cubiques de l'unité (exercice 2) : $1,\,-\frac12+i\frac{\sqrt3}2,\,-\frac12-i\frac{\sqrt3}2$. Donc $z^3-1=(z-1)\left(z+\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(z+\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)$ — une factorisation complète dans $\mathbb C$, impossible à obtenir entièrement dans $\mathbb R$ (où l'on ne peut factoriser que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, le second facteur restant irréductible sur $\mathbb R$).
Résoudre $z^4=-8-8i\sqrt3$, en donnant le module et l'argument de chaque racine (forme exponentielle uniquement).
$Z=-8-8i\sqrt3$. $|Z|=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$. $\cos\Theta=\dfrac{-8}{16}=-\dfrac12$, $\sin\Theta=\dfrac{-8\sqrt3}{16}=-\dfrac{\sqrt3}2$ : $\Theta=-\dfrac{2\pi}3$ (troisième quadrant, cohérent avec $a<0,b<0$).
$R^{1/4}=16^{1/4}=2$.
$z_k=2\,e^{i\left(-\frac{2\pi}3+2k\pi\right)/4}$ pour $k=0,1,2,3$, soit les arguments $-\dfrac\pi6,\ \dfrac\pi3,\ \dfrac{5\pi}6,\ \dfrac{4\pi}3$ (ou $-\dfrac{2\pi}3$ en argument principal) — quatre points de module 2, régulièrement espacés de $\dfrac{\pi}2$ (90°) sur le cercle de rayon 2.
Exercice A — Résoudre $z^4=-1$ dans $\mathbb C$.
1. Écrire $-1$ sous forme exponentielle, puis donner les 4 racines sous forme exponentielle.
2. Donner ces 4 racines sous forme algébrique.
3. Vérifier que leur somme est nulle.
Exercice B — Question de cours
Démontrer que les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.
Un système électrique triphasé équilibré est modélisé par trois tensions complexes de même amplitude $V_0=230\sqrt2\,$V, déphasées les unes des autres d'un tiers de tour :
$$V_k = V_0\,\omega^k, \qquad k=0,1,2, \qquad \omega=e^{i2\pi/3}$$
1. Reconnaître $\omega$ : de quelle racine particulière s'agit-il ?
2. Calculer $V_0,V_1,V_2$ sous forme algébrique (arrondir à 0,1 V près).
3. Calculer $V_0+V_1+V_2$. Que représente physiquement ce résultat pour un système triphasé « équilibré » ?
4. Un technicien mesure que la somme des trois tensions n'est pas nulle sur une installation réelle. Que peut-on en conclure sur l'équilibre du système ?