Racines n-ièmes — Mathématiques générales

1Généraliser les racines carrées

Le chapitre précédent a montré que tout complexe non nul admet exactement 2 racines carrées. On généralise ici : pour $n\ge2$ entier et $Z\in\mathbb C^*$, on cherche les complexes $z$ tels que $z^n=Z$.

2Racines n-ièmes de l'unité

On commence par le cas $Z=1$. Cherchons $z=re^{i\theta}$ tel que $z^n=1$. Par la formule du produit (chapitre « Forme trigonométrique »), $z^n=r^ne^{in\theta}$, donc :

$$r^ne^{in\theta} = 1 = 1\cdot e^{i0} \iff r^n=1 \text{ et } n\theta \equiv 0\ [2\pi]$$

Comme $r>0$, $r^n=1\Rightarrow r=1$. Et $n\theta=2k\pi\Rightarrow\theta=\dfrac{2k\pi}n$, pour $k\in\mathbb Z$. En ne gardant que les valeurs distinctes modulo $2\pi$ (soit $k=0,1,\dots,n-1$) :

Théorème

L'équation $z^n=1$ admet exactement $n$ solutions distinctes, appelées racines $n$-ièmes de l'unité :

$$\omega_k = e^{i2k\pi/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1$$

Illustration graphique — racines 6-ièmes de l'unité

Les 6 racines de $z^6=1$ forment un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité, sommet $\omega_0=1$ compris — c'est le résultat général : les racines $n$-ièmes de l'unité sont toujours les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

3Racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Pour $Z=Re^{i\Theta}\neq0$ quelconque ($R=|Z|>0$), on cherche $z^n=Z$. Le même raisonnement donne $r=R^{1/n}$ (racine $n$-ième réelle positive de $R$) et $n\theta\equiv\Theta\ [2\pi]$ :

Théorème

Les $n$ racines $n$-ièmes de $Z=Re^{i\Theta}$ sont :

$$z_k = R^{1/n}\,e^{i(\Theta+2k\pi)/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1$$

Géométriquement, ces $n$ racines sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $0$ et de rayon $R^{1/n}$ (et non de rayon 1, sauf si $R=1$).

4Exemple numérique

Exemple résolu — racines cubiques de 8

$Z=8=8e^{i0}$. $R^{1/3}=8^{1/3}=2$. Les 3 racines sont $z_k=2e^{i2k\pi/3}$ pour $k=0,1,2$ :

$z_0=2e^{i0}=2$.

$z_1=2e^{i2\pi/3}=2\left(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-1+i\sqrt3\approx-1+1{,}732i$.

$z_2=2e^{i4\pi/3}=2\left(-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-1-i\sqrt3\approx-1-1{,}732i$. On retrouve la racine réelle usuelle $z_0=2$, plus deux racines complexes conjuguées.

5Lien avec les racines n-ièmes de l'unité

Propriété structurelle

Si $z_0$ est une racine $n$-ième particulière de $Z$, alors toutes les racines $n$-ièmes de $Z$ s'obtiennent en multipliant $z_0$ par les racines $n$-ièmes de l'unité :

$$\{z : z^n=Z\} = \{z_0\,\omega_k : k=0,\dots,n-1\}$$

En effet, $(z_0\omega_k)^n = z_0^n\omega_k^n = Z\times1=Z$. C'est cette propriété qui explique pourquoi les $n$ racines forment toujours un polygone régulier : elles sont obtenues en faisant « tourner » une racine de référence $z_0$ par les rotations d'angle $2k\pi/n$.

6Algorithme

// Racines n-ièmes de Z = R·e^(iΘ)
R ← |Z| ;  Θ ← arg(Z)
pour k = 0 à n−1 faire
    z_k ← R^(1/n) · e^(i(Θ+2kπ)/n)
fin pour

Exercice 1 — Racines carrées de l'unité

Facile

Donner les racines carrées de l'unité (solutions de $z^2=1$).

Voir la correction détaillée

Reconnaître le cas $Z=1$, $n=2$ dans le théorème du cours §2.
Appliquer la formule $\omega_k=e^{i2k\pi/n}$ avec $n=2$ : $\omega_k=e^{i2k\pi/2}=e^{ik\pi}$, pour $k=0$ et $k=1$.
Calculer chaque racine. $\omega_0=e^{i0}=1$ ; $\omega_1=e^{i\pi}=-1$.
Vérifier la cohérence avec les connaissances antérieures : on retrouve bien les deux racines carrées réelles usuelles de $1$, à savoir $1$ et $-1$.

Exercice 2 — Racines cubiques de l'unité

Moyen

Donner les racines cubiques de l'unité (solutions de $z^3=1$) sous forme algébrique.

Voir la correction détaillée

Appliquer la formule $\omega_k=e^{i2k\pi/n}$ avec $n=3$ : $\omega_k=e^{i2k\pi/3}$ pour $k=0,1,2$.
Calculer $\omega_0$. $\omega_0=e^{i0}=1$.
Calculer $\omega_1$ en convertissant la forme exponentielle en forme algébrique (valeurs usuelles de cosinus/sinus) : $\omega_1=e^{i2\pi/3}=\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$.
Calculer $\omega_2$ de la même façon : $\omega_2=e^{i4\pi/3}=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$.
Remarquer que $\omega_1$ et $\omega_2$ sont conjuguées l'une de l'autre, cohérent avec le fait que $Z=1$ est réel.

Exercice 3 — Racines 4-ièmes de l'unité

Facile

Donner les racines 4-ièmes de l'unité.

Voir la correction détaillée

Appliquer la formule avec $n=4$ : $\omega_k=e^{i2k\pi/4}=e^{ik\pi/2}$ pour $k=0,1,2,3$.
Calculer chaque valeur. $\omega_0=e^{i0}=1$ ; $\omega_1=e^{i\pi/2}=i$ ; $\omega_2=e^{i\pi}=-1$ ; $\omega_3=e^{i3\pi/2}=-i$.
Conclure. Les 4 racines sont $1,\,i,\,-1,\,-i$ — les 4 sommets d'un carré inscrit dans le cercle unité.

Exercice 4 — Somme des racines n-ièmes de l'unité

Difficile

Montrer que pour $n\ge2$, la somme des $n$ racines $n$-ièmes de l'unité vaut $0$.

Voir la correction détaillée

Écrire la somme à calculer en notant $\omega=e^{i2\pi/n}$ (une racine "génératrice") : $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k$.
Reconnaître une somme géométrique de premier terme $1$, de raison $\omega$, à $n$ termes.
Appliquer la formule de la somme géométrique $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\dfrac{q^n-1}{q-1}$ (valable car $q=\omega\neq1$ pour $n\ge2$) : $S=\dfrac{\omega^n-1}{\omega-1}$.
Calculer $\omega^n$. $\omega^n=\left(e^{i2\pi/n}\right)^n=e^{i2\pi}=1$.
Conclure. $S=\dfrac{1-1}{\omega-1}=\dfrac0{\omega-1}=0$ (le dénominateur est bien non nul puisque $\omega\neq1$).

Exercice 5 — Racines cubiques de −1

Moyen

Résoudre $z^3=-1$.

Voir la correction détaillée

Écrire $Z=-1$ sous forme exponentielle. $-1=1\times e^{i\pi}$, donc $R=1$ et $\Theta=\pi$.
Appliquer la formule des racines $n$-ièmes avec $n=3$ : $z_k=R^{1/3}e^{i(\Theta+2k\pi)/3}=e^{i(\pi+2k\pi)/3}$ pour $k=0,1,2$.
Calculer $z_0$ ($k=0$) : $z_0=e^{i\pi/3}=\cos60°+i\sin60°\approx0{,}5+0{,}866i$.
Calculer $z_1$ ($k=1$) : $z_1=e^{i(\pi+2\pi)/3}=e^{i\pi}=-1$.
Calculer $z_2$ ($k=2$) : $z_2=e^{i(\pi+4\pi)/3}=e^{i5\pi/3}\approx0{,}5-0{,}866i$.

Exercice 6 — Racines carrées de i (par la méthode n-ième)

Moyen

Retrouver les racines carrées de $i$ via la formule des racines $n$-ièmes.

Voir la correction détaillée

Écrire $i$ sous forme exponentielle. $i=1\times e^{i\pi/2}$, donc $R=1$, $\Theta=\pi/2$.
Appliquer la formule avec $n=2$. $z_k=e^{i(\pi/2+2k\pi)/2}$ pour $k=0,1$.
Calculer $z_0$. $z_0=e^{i\pi/4}=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\approx0{,}707+0{,}707i$.
Calculer $z_1$. $z_1=e^{i(\pi/2+2\pi)/2}=e^{i5\pi/4}\approx-0{,}707-0{,}707i$.
Vérifier la cohérence avec le chapitre précédent : on retrouve bien deux racines opposées ($z_1=-z_0$), comme attendu pour des racines carrées.

Exercice 7 — Racines 4-ièmes d'un réel négatif

Moyen

Résoudre $z^4=-16$.

Voir la correction détaillée

Écrire $-16$ sous forme exponentielle. $-16=16e^{i\pi}$, donc $R=16$, $\Theta=\pi$.
Calculer $R^{1/4}$. $16^{1/4}=2$ (car $2^4=16$).
Appliquer la formule avec $n=4$. $z_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/4}$ pour $k=0,1,2,3$.
Calculer chaque racine en évaluant l'argument pour chaque $k$ : arguments $\pi/4,\ 3\pi/4,\ 5\pi/4,\ 7\pi/4$.
Convertir en forme algébrique. $z_0=2e^{i\pi/4}\approx1{,}414+1{,}414i$ ; $z_1\approx-1{,}414+1{,}414i$ ; $z_2\approx-1{,}414-1{,}414i$ ; $z_3\approx1{,}414-1{,}414i$.

Exercice 8 — Racines cubiques d'un imaginaire pur

Moyen

Résoudre $z^3=27i$.

Voir la correction détaillée

Écrire $27i$ sous forme exponentielle. $27i=27e^{i\pi/2}$, donc $R=27$, $\Theta=\pi/2$.
Calculer $R^{1/3}$. $27^{1/3}=3$.
Appliquer la formule avec $n=3$. $z_k=3e^{i(\pi/2+2k\pi)/3}$ pour $k=0,1,2$.
Calculer $z_0$. $z_0=3e^{i\pi/6}\approx2{,}598+1{,}5i$.
Calculer $z_1$. $z_1=3e^{i5\pi/6}\approx-2{,}598+1{,}5i$.
Calculer $z_2$. $z_2=3e^{i3\pi/2}=-3i$.

Exercice 9 — Produit des racines n-ièmes de l'unité

Difficile

Calculer le produit des 4 racines 4-ièmes de l'unité, puis celui des 5 racines 5-ièmes.

Voir la correction détaillée

Écrire le produit général. $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\omega_k=\prod_{k=0}^{n-1}e^{i2k\pi/n}$.
Additionner les exposants (produit d'exponentielles = exponentielle de la somme) : $=e^{i(2\pi/n)(0+1+\cdots+(n-1))}$.
Utiliser la formule de la somme des $n$ premiers entiers $0+1+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}2$, ce qui donne l'exposant $\dfrac{2\pi}n\times\dfrac{n(n-1)}2=\pi(n-1)$.
Simplifier. Produit $=e^{i\pi(n-1)}=(-1)^{n-1}$.
Appliquer numériquement. Pour $n=4$ : $(-1)^3=-1$. Pour $n=5$ : $(-1)^4=1$.

Exercice 10 — Application : transformée de Fourier discrète

Moyen

La transformée de Fourier discrète (TFD, très utilisée en traitement du signal) repose sur les racines $n$-ièmes de l'unité $\omega_k=e^{-i2\pi k/n}$. Pourquoi ces racines particulières sont-elles un choix naturel pour analyser un signal périodique échantillonné sur $n$ points ?

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Identifier la contrainte de périodicité. Un signal échantillonné sur $n$ points périodiques doit être décrit par des fréquences discrètes compatibles avec cette période exacte.
Relier cette contrainte aux racines $n$-ièmes. Les racines $n$-ièmes de l'unité sont, par définition, les seuls complexes de module $1$ vérifiant $\omega^n=1$ : elles "bouclent" exactement après $n$ pas, sans décalage résiduel.
Conclure sur l'intérêt pratique. Utiliser ces racines comme base de décomposition garantit une reconstruction exacte et sans redondance du signal à partir de ses composantes fréquentielles — c'est le fondement mathématique de la TFD et de l'algorithme FFT qui l'implémente efficacement.

Exercice 11 — Racines réelles parmi les racines n-ièmes

Moyen

Pour $Z$ réel positif, combien des $n$ racines $n$-ièmes de $Z$ sont réelles, selon la parité de $n$ ?

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Repérer qu'une racine $z_k$ est réelle si et seulement si son argument vaut $0$ ou $\pi$ (modulo $2\pi$).
Traiter le cas $n$ impair. Seul $k=0$ donne un argument nul ; aucun $k$ ne donne exactement $\pi$ (car $\dfrac{2k\pi}n=\pi$ imposerait $n=2k$, impossible avec $n$ impair) : une seule racine réelle.
Traiter le cas $n$ pair. $k=0$ donne l'argument $0$ ; et $k=n/2$ donne l'argument $\pi$ (entier car $n$ pair) : exactement deux racines réelles, $+R^{1/n}$ et $-R^{1/n}$.
Conclure sur les racines restantes. Toutes les autres racines (non réelles) se regroupent nécessairement par paires conjuguées, puisque $Z$ est réel.

Exercice 12 — Racines cubiques d'un complexe quelconque

Difficile

Résoudre $z^3=1+i$.

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Calculer le module de $1+i$. $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.
Calculer l'argument de $1+i$. $\arg(1+i)=\dfrac\pi4$ (valeur usuelle, car partie réelle et imaginaire égales et positives).
Calculer $R^{1/3}$. $R^{1/3}=(\sqrt2)^{1/3}=2^{1/6}\approx1{,}122$.
Appliquer la formule avec $n=3$. $z_k=2^{1/6}e^{i(\pi/4+2k\pi)/3}$ pour $k=0,1,2$.
Calculer chaque racine numériquement. $z_0\approx1{,}084+0{,}291i$ ; $z_1\approx-0{,}794+0{,}794i$ ; $z_2\approx-0{,}291-1{,}084i$.

Exercice 13 — Distance entre deux racines consécutives

Difficile

Deux racines $n$-ièmes de l'unité consécutives, $\omega_k$ et $\omega_{k+1}$, sont-elles également espacées quel que soit $k$ ? Justifier à l'aide du chapitre « Exponentielle et logarithme ».

Voir la correction détaillée

Écrire la distance à calculer. $|\omega_{k+1}-\omega_k| = \left|e^{i(k+1)2\pi/n}-e^{ik2\pi/n}\right|$.
Factoriser par le terme commun $e^{ik2\pi/n}$ : $=\left|e^{ik2\pi/n}\right|\times\left|e^{i2\pi/n}-1\right|=1\times\left|e^{i2\pi/n}-1\right|$ (le module d'une exponentielle imaginaire pure vaut toujours 1).
Utiliser la formule établie au chapitre précédent (exercice 18) pour la distance entre un point du cercle unité et $1$ : $\left|e^{i\alpha}-1\right|=2\left|\sin(\alpha/2)\right|$, avec ici $\alpha=2\pi/n$.
Conclure. $|\omega_{k+1}-\omega_k|=2\sin(\pi/n)$, une valeur qui ne dépend pas de $k$ : les racines sont bien régulièrement espacées, ce qui confirme qu'elles forment un polygone régulier.

Exercice 14 — Vrai ou faux

Facile

Vrai ou faux : « les racines $n$-ièmes d'un complexe $Z\neq0$ ont toutes le même module ».

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Revenir à la formule générale du cours §3 : $z_k=R^{1/n}e^{i(\Theta+2k\pi)/n}$.
Observer que le module de $z_k$ ne dépend que du facteur $R^{1/n}$, identique pour toutes les valeurs de $k$ — seul l'argument $\dfrac{\Theta+2k\pi}n$ change d'une racine à l'autre.
Conclure. L'affirmation est vraie : toutes les racines ont le même module $R^{1/n}=|Z|^{1/n}$, ce qui explique qu'elles soient toutes situées sur un même cercle centré en 0.

Exercice 15 — Vérification par la somme

Moyen

Vérifier que la somme des 3 racines cubiques de $8$ (calculées au cours §4) vaut $0$.

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Rappeler les 3 racines obtenues au cours : $z_0=2$, $z_1=-1+i\sqrt3$, $z_2=-1-i\sqrt3$.
Additionner les parties réelles. $2+(-1)+(-1)=0$.
Additionner les parties imaginaires. $0+\sqrt3+(-\sqrt3)=0$.
Conclure. $z_0+z_1+z_2=0$ ✓, conforme au résultat général de l'exercice 4 — cette propriété reste vraie pour les racines d'un $Z$ quelconque (pas seulement pour celles de l'unité), car ce sont les racines de l'unité multipliées par une racine fixe $z_0$ (cours §5).

Exercice 16 — Application : positions d'une pièce mécanique

Moyen

Une roue dentée possède $n=8$ dents régulièrement réparties sur un cercle de rayon $5$ cm. Modéliser les positions des dents à l'aide des racines 8-ièmes d'un complexe bien choisi.

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Identifier ce qui est cherché : $8$ points régulièrement espacés sur un cercle de rayon $5$ — exactement la structure géométrique des racines $8$-ièmes d'un nombre bien choisi.
Choisir $Z$ pour que $R^{1/8}=5$ : il suffit de prendre $Z=5^8$, un réel positif quelconque (l'argument $\Theta=0$ convient, par exemple, pour placer la première dent sur l'axe réel).
Écrire la formule des racines. $p_k=5^8{}^{1/8}e^{i(0+2k\pi)/8}=5e^{ik\pi/4}$ pour $k=0,\dots,7$.
Conclure. C'est exactement la structure des racines 8-ièmes de l'unité, mise à l'échelle par le rayon $5$ cm — la position de chaque dent s'obtient en tournant la précédente d'un angle $\pi/4$ (45°).

Exercice 17 — Racines n-ièmes et rotation

Moyen

Montrer que multiplier une racine $n$-ième $z_k$ par $\omega=e^{i2\pi/n}$ donne une autre racine $n$-ième de $Z$.

Voir la correction détaillée

Poser l'hypothèse. $z_k$ vérifie $z_k^n=Z$, et $\omega$ est une racine $n$-ième de l'unité, donc $\omega^n=1$.
Calculer $(z_k\omega)^n$ en utilisant la propriété $(ab)^n=a^nb^n$ : $(z_k\omega)^n=z_k^n\,\omega^n$.
Substituer les valeurs connues. $=Z\times1=Z$.
Conclure. $z_k\omega$ vérifie bien $(z_k\omega)^n=Z$ : c'est donc une autre racine $n$-ième de $Z$ — géométriquement, c'est précisément la rotation d'angle $2\pi/n$ qui fait passer d'une racine à la suivante sur le polygone régulier.

Exercice 18 — Racines 6-ièmes d'un réel négatif

Difficile

Résoudre $z^6=-64$.

Voir la correction détaillée

Écrire $-64$ sous forme exponentielle. $-64=64e^{i\pi}$, donc $R=64$, $\Theta=\pi$.
Calculer $R^{1/6}$. $64^{1/6}=2$ (car $2^6=64$).
Appliquer la formule avec $n=6$. $z_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/6}$ pour $k=0,\dots,5$.
Calculer les arguments successifs pour chaque $k$ : $\pi/6,\ \pi/2,\ 5\pi/6,\ 7\pi/6,\ 3\pi/2,\ 11\pi/6$.
Convertir en forme algébrique. $z_0\approx1{,}732+i$, $z_1=2i$, $z_2\approx-1{,}732+i$, $z_3\approx-1{,}732-i$, $z_4=-2i$, $z_5\approx1{,}732-i$.
Interpréter géométriquement. Six points formant un hexagone régulier de rayon 2, tourné de 30° par rapport à celui des racines de l'unité, car l'argument de départ $\Theta=\pi$ n'est pas nul ici.

Exercice 19 — Factorisation via les racines n-ièmes

Difficile

Écrire $z^3-1$ comme produit de facteurs du premier degré dans $\mathbb C[z]$.

Voir la correction détaillée

Repérer que les racines de $z^3-1=0$ sont exactement les solutions de $z^3=1$, c'est-à-dire les racines cubiques de l'unité déjà calculées (exercice 2) : $1$, $-\frac12+i\frac{\sqrt3}2$, $-\frac12-i\frac{\sqrt3}2$.
Utiliser le principe de factorisation d'un polynôme par ses racines : un polynôme de degré 3 se factorise en produit de 3 facteurs du premier degré, un par racine.
Écrire chaque facteur de la forme $(z-\text{racine})$ : $(z-1)$, $\left(z-\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)\right)$, $\left(z-\left(-\frac12-i\frac{\sqrt3}2\right)\right)$.
Conclure. $z^3-1=(z-1)\left(z+\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(z+\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)$ — une factorisation complète, impossible à obtenir entièrement dans $\mathbb R$ (où l'on ne peut factoriser que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, le second facteur restant irréductible sur $\mathbb R$).

Exercice 20 — Synthèse

Difficile

Résoudre $z^4=-8-8i\sqrt3$, en donnant le module et l'argument de chaque racine (forme exponentielle uniquement).

Voir la correction détaillée

Calculer le module de $Z=-8-8i\sqrt3$. $|Z|=\sqrt{(-8)^2+(-8\sqrt3)^2}=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$.
Calculer l'argument en utilisant $\cos\Theta=\dfrac{a}{|Z|}$ et $\sin\Theta=\dfrac{b}{|Z|}$ : $\cos\Theta=\dfrac{-8}{16}=-\dfrac12$, $\sin\Theta=\dfrac{-8\sqrt3}{16}=-\dfrac{\sqrt3}2$.
Identifier l'angle correspondant (troisième quadrant, cohérent avec $a<0$ et $b<0$) : $\Theta=-\dfrac{2\pi}3$.
Calculer $R^{1/4}$. $16^{1/4}=2$.
Appliquer la formule des racines $n$-ièmes avec $n=4$. $z_k=2\,e^{i\left(-\frac{2\pi}3+2k\pi\right)/4}$ pour $k=0,1,2,3$.
Calculer les 4 arguments en substituant $k=0,1,2,3$ : $-\dfrac\pi6,\ \dfrac\pi3,\ \dfrac{5\pi}6,\ \dfrac{4\pi}3$ (ou $-\dfrac{2\pi}3$ en argument principal).
Conclure. Quatre points de module 2, régulièrement espacés de $\dfrac\pi2$ (90°) sur le cercle de rayon 2 — un carré tourné par rapport à celui des racines de l'unité.

Progression Score : 0 / 10

Sujet 1 — Contrôle de connaissances

Mathématiques générales · 3iL Ingénieurs · Durée indicative : 30 min

Exercice A (14 points) — Résoudre $z^4=-1$ dans $\mathbb C$.

1. Écrire $-1$ sous forme exponentielle, puis donner les 4 racines sous forme exponentielle. (6 pts)

2. Donner ces 4 racines sous forme algébrique. (4 pts)

3. Vérifier que leur somme est nulle. (4 pts)

Exercice B — Question de cours (6 points)

Démontrer que les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Voir le corrigé complet

A.1. $-1=e^{i\pi}$. Les racines sont $z_k=e^{i(\pi+2k\pi)/4}$ pour $k=0,1,2,3$, soit d'arguments $\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4,\dfrac{7\pi}4$.
A.2. $z_0=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2$. $z_1=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2$. $z_2=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2$. $z_3=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2$.
A.3. $z_0+z_2=0$ et $z_1+z_3=0$ (opposés deux à deux), donc la somme totale est bien nulle — cohérent avec le résultat général (cours, exercice 4).
B. Chaque racine $\omega_k=e^{i2k\pi/n}$ a pour module $1$ : tous les points sont donc sur le cercle unité. L'argument de $\omega_{k+1}$ dépasse celui de $\omega_k$ exactement de $\dfrac{2\pi}n$ (angle constant) : les points sont donc régulièrement espacés angulairement, ce qui — combiné à un rayon constant — caractérise exactement les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.

Sujet 2 — Application ingénieur : système triphasé équilibré

Mathématiques générales · 3iL Ingénieurs · Durée indicative : 30 min

Un système électrique triphasé équilibré est modélisé par trois tensions complexes de même amplitude $V_0=230\sqrt2\,$V, déphasées les unes des autres d'un tiers de tour :

$$V_k = V_0\,\omega^k, \qquad k=0,1,2, \qquad \omega=e^{i2\pi/3}$$

1. Reconnaître $\omega$ : de quelle racine particulière s'agit-il ? (3 pts)

2. Calculer $V_0,V_1,V_2$ sous forme algébrique (arrondir à 0,1 V près). (8 pts)

3. Calculer $V_0+V_1+V_2$. Que représente physiquement ce résultat pour un système triphasé « équilibré » ? (6 pts)

4. Un technicien mesure que la somme des trois tensions n'est pas nulle sur une installation réelle. Que peut-on en conclure sur l'équilibre du système ? (3 pts)

Voir le corrigé complet

1. $\omega=e^{i2\pi/3}$ est une racine cubique de l'unité (l'une des trois racines de $z^3=1$, cours §2).
2. $V_0=325{,}3+0i$ V. $V_1=325{,}3\,e^{i2\pi/3}\approx-162{,}6+281{,}7i$ V. $V_2=325{,}3\,e^{i4\pi/3}\approx-162{,}6-281{,}7i$ V (les trois tensions ont bien le même module $\approx325{,}3$ V, l'amplitude crête).
3. $V_0+V_1+V_2\approx0$ : c'est exactement la propriété générale « somme des racines $n$-ièmes nulle » (ici, appliquée aux trois tensions, qui sont $V_0$ multiplié par les 3 racines cubiques de l'unité, cours §5). Physiquement, cela signifie qu'un système triphasé équilibré ne nécessite aucun courant de retour par un conducteur neutre commun : les trois phases se compensent exactement à tout instant, un principe fondamental de l'économie de câblage en distribution électrique triphasée.
4. Si la somme mesurée n'est pas nulle, le système est déséquilibré (charges inégales entre les phases, ou déphasages/amplitudes non conformes aux $120°$ théoriques) : un courant de déséquilibre doit alors circuler dans le neutre, ce qui peut indiquer un défaut ou une répartition de charge à corriger.

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