Repérer un complexe par son module et son argument plutôt que par ses coordonnées, pour rendre triviales les multiplications, divisions et rotations.
À tout complexe $z=a+ib$, on associe le point $M(a,b)$ (ou le vecteur $\vec{OM}$) dans un plan muni d'un repère orthonormé — le plan d'Argand. L'axe horizontal porte les réels (axe des réels), l'axe vertical les imaginaires purs (axe des imaginaires).
Le module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ est alors la distance $OM$. On peut donc repérer $z$ autrement qu'avec $(a,b)$ : par sa distance à l'origine et par l'angle que fait $\vec{OM}$ avec l'axe des réels.
Pour $z\neq0$, un argument de $z$, noté $\arg(z)$, est une mesure (en radians) de l'angle $\theta$ entre l'axe des réels et $\vec{OM}$. Il est défini modulo $2\pi$ : $\theta$ et $\theta+2k\pi$ ($k\in\mathbb Z$) représentent le même complexe.
Avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$, on a $a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$, d'où la forme trigonométrique :
$$z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$$
Pour $z=1+i$ : $r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, et $\theta=\arg(z)=\dfrac\pi4$ (45°), car le point $(1,1)$ se situe sur la première bissectrice.
Pour trouver $\theta$ à partir de $a$ et $b$, on résout simultanément $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ (le signe de $\sin\theta$ et $\cos\theta$ permet de placer $\theta$ dans le bon quadrant — une seule des deux équations ne suffit pas).
Soit $z=-1+i\sqrt3$. $r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2$.
$\cos\theta=\dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ : ces deux valeurs correspondent à $\theta=\dfrac{2\pi}3$ (120°), dans le deuxième quadrant (cohérent avec $a<0,\,b>0$).
$z = 2\left(\cos\dfrac{2\pi}3+i\sin\dfrac{2\pi}3\right)$.
On pose, pour $\theta\in\mathbb R$ : $e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$. Cette notation (justifiée au cours suivant via les séries entières / l'équation différentielle $f'=if$) permet d'écrire tout complexe non nul sous forme exponentielle :
$$z = re^{i\theta}, \qquad r=|z|>0,\ \theta=\arg(z)$$
Cas particuliers utiles : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi/2}=i$, $e^{i\pi}=-1$ (la célèbre relation d'Euler $e^{i\pi}+1=0$), $e^{i3\pi/2}=-i$, $e^{2ik\pi}=1$ pour tout $k\in\mathbb Z$.
Pour $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$ :
$$zz' = rr'\,e^{i(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,e^{i(\theta-\theta')} \ (z'\neq0)$$
Multiplier deux complexes revient à multiplier leurs modules et additionner leurs arguments — bien plus simple que la forme algébrique pour les produits et les puissances (cours suivant).
Soient $z=2e^{i\pi/6}$ (module 2, argument 30°) et $z'=3e^{i\pi/4}$ (module 3, argument 45°).
$zz' = 2\times3\,e^{i(\pi/6+\pi/4)} = 6\,e^{i5\pi/12}$ (argument $5\pi/12$ rad = 75°) — un calcul immédiat, alors que multiplier les formes algébriques correspondantes aurait demandé plusieurs lignes de développement.
Pour $z=re^{i\theta}$ :
$$\bar z = re^{-i\theta}, \qquad -z = re^{i(\theta+\pi)}$$
Conjuguer revient à changer le signe de l'argument (symétrie par rapport à l'axe des réels) ; prendre l'opposé revient à ajouter $\pi$ à l'argument (symétrie par rapport à l'origine, donc rotation d'un demi-tour).
Donner le module et l'argument de $z=i$.
$|i|=1$. Le point $(0,1)$ est sur l'axe des imaginaires, à angle droit : $\arg(i)=\dfrac\pi2$ (90°).
Donner le module et l'argument de $z=-1$.
$|-1|=1$. Le point $(-1,0)$ est sur l'axe des réels négatifs : $\arg(-1)=\pi$ (180°). On retrouve la relation d'Euler : $e^{i\pi}=-1$.
Donner la forme trigonométrique de $z=\sqrt3+i$.
$r=\sqrt{3+1}=2$. $\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}2$, $\sin\theta=\dfrac12$ : $\theta=\dfrac\pi6$ (30°).
$z=2\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)$.
Donner le module et l'argument de $z=-2$.
$|-2|=2$. $\arg(-2)=\pi$ (même argument que $-1$, un réel négatif quelconque a toujours pour argument $\pi$).
Donner le module et l'argument de $z=2-2i$.
$r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$. $\cos\theta=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$, $\sin\theta=\dfrac{-2}{2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}2$.
$\theta=-\dfrac\pi4$ (−45°), dans le quatrième quadrant, cohérent avec $a>0,b<0$.
Donner le module et l'argument de $z=-3-3i$.
$r=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\approx4{,}243$. $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}2$, $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}2$ : ces deux signes négatifs placent $\theta$ dans le troisième quadrant.
$\theta=-\dfrac{3\pi}4$ (ou de façon équivalente $\dfrac{5\pi}4$), soit −135°.
Soient $z=3e^{i\pi/3}$ et $z'=4e^{i\pi/6}$. Calculer $zz'$ sous forme exponentielle.
$zz' = (3\times4)\,e^{i(\pi/3+\pi/6)} = 12\,e^{i\pi/2}$ (module 12, argument 90°). On vérifie : $12e^{i\pi/2}=12i$, un imaginaire pur.
Avec les mêmes $z,z'$ que l'exercice précédent, calculer $\dfrac{z}{z'}$.
$\dfrac{z}{z'} = \dfrac34\,e^{i(\pi/3-\pi/6)} = 0{,}75\,e^{i\pi/6}$ (module 0,75, argument 30°).
Écrire $z=4e^{i5\pi/6}$ (argument 150°) sous forme algébrique.
$\cos(150°)=-\dfrac{\sqrt3}2$, $\sin(150°)=\dfrac12$.
$z = 4\left(-\dfrac{\sqrt3}2+i\dfrac12\right) = -2\sqrt3+2i \approx -3{,}464+2i$.
Écrire $z=2e^{-i\pi/3}$ (argument −60°) sous forme algébrique.
$\cos(-60°)=\dfrac12$, $\sin(-60°)=-\dfrac{\sqrt3}2$. $z=2\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)=1-i\sqrt3\approx1-1{,}732i$.
Donner la forme exponentielle du conjugué de $z=5e^{i2\pi/5}$.
$\bar z = 5e^{-i2\pi/5}$ : le module est inchangé, l'argument change de signe.
Donner la forme exponentielle de $-z$ pour $z=3e^{i\pi/4}$.
$-z=3e^{i(\pi/4+\pi)}=3e^{i5\pi/4}$ (on peut aussi écrire $3e^{-i3\pi/4}$, forme équivalente modulo $2\pi$).
Calculer $z_1z_2z_3$ où $z_1=2e^{i\pi/6}$, $z_2=3e^{i\pi/3}$, $z_3=e^{i\pi/2}$.
Modules : $2\times3\times1=6$. Arguments : $\dfrac\pi6+\dfrac\pi3+\dfrac\pi2=\dfrac\pi6+\dfrac{2\pi}6+\dfrac{3\pi}6=\dfrac{6\pi}6=\pi$. Donc $z_1z_2z_3=6e^{i\pi}=-6$.
Un signal électrique est modélisé par le complexe $\underline{V}=230\sqrt2\,e^{i\pi/6}$ (notation des électroniciens, tension efficace 230 V, déphasage 30°). Quel est le module de $\underline V$, et que représente-t-il physiquement ?
$|\underline V| = 230\sqrt2 \approx325{,}3$ V : c'est l'amplitude (valeur de crête) du signal sinusoïdal, tandis que l'argument $\pi/6$ code le déphasage de la tension par rapport à une référence temporelle.
Calculer $(1+i)(\sqrt3+i)$ de deux façons : directement en forme algébrique, puis via les modules et arguments.
Algébrique : $(1+i)(\sqrt3+i)=\sqrt3+i+i\sqrt3+i^2=\sqrt3-1+i(1+\sqrt3)\approx0{,}732+2{,}732i$.
Exponentielle : $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$. Produit : $2\sqrt2\,e^{i(\pi/4+\pi/6)}=2\sqrt2\,e^{i5\pi/12}$. Numériquement, $2\sqrt2\approx2{,}828$ et $75°$ donnent bien le même résultat que la méthode algébrique (aux arrondis près) — les deux approches se recoupent, mais l'exponentielle rend le module et l'argument immédiatement lisibles.
Donner l'argument de $z=-4i$.
Le point $(0,-4)$ est sur l'axe des imaginaires négatifs : $\arg(-4i)=-\dfrac\pi2$ (−90°, ou de façon équivalente $\dfrac{3\pi}2$).
Vrai ou faux : « l'argument d'un complexe non nul est unique ».
Faux : l'argument n'est défini que modulo $2\pi$ (cours §2). On parle souvent de « l'argument principal », celui appartenant à $]-\pi,\pi]$, pour lever cette ambiguïté et obtenir une valeur unique.
Sans calculer $zz'$ explicitement, donner $|zz'|$ pour $z=5e^{i\theta_1}$ et $z'=2e^{i\theta_2}$ (quels que soient $\theta_1,\theta_2$).
$|zz'|=|z|\times|z'|=5\times2=10$, indépendamment des arguments : le module d'un produit est toujours le produit des modules (cours §5).
Donner la forme algébrique de $z$ sachant que $|z|=6$ et $\arg(z)=\dfrac{2\pi}3$ (120°).
$\cos(120°)=-\dfrac12$, $\sin(120°)=\dfrac{\sqrt3}2$. $z=6\left(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=-3+3i\sqrt3\approx-3+5{,}196i$.
Soient $z_1=4e^{i2\pi/3}$ et $z_2=-1+i$. (a) Donner la forme exponentielle de $z_2$. (b) Calculer $z_1z_2$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
(a) $|z_2|=\sqrt2$. $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}2,\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}2\Rightarrow\theta=\dfrac{3\pi}4$. $z_2=\sqrt2\,e^{i3\pi/4}$.
(b) Modules : $4\sqrt2$. Arguments : $\dfrac{2\pi}3+\dfrac{3\pi}4=\dfrac{8\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}=\dfrac{17\pi}{12}$ (soit $\dfrac{17\pi}{12}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{12}$ en argument principal).
$z_1z_2 = 4\sqrt2\,e^{-i7\pi/12}$. Sous forme algébrique : en calculant directement $4e^{i2\pi/3}\times(-1+i)$, on développe $4\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)(-1+i)$, qui redonne (aux arrondis près) le même complexe que la forme exponentielle évaluée numériquement — la cohérence entre les deux formes est la meilleure vérification du calcul.
Exercice A — Soient $z_1=-2+2i$ et $z_2=3-3\sqrt3\,i$.
1. Déterminer le module et l'argument de $z_1$, puis de $z_2$.
2. En déduire le module et l'argument de $z_1z_2$, puis de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer les formules $|zz'|=|z||z'|$ et $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ (modulo $2\pi$) à partir de la notation exponentielle.
Un bras robotisé plan applique successivement deux rotations à un objet, modélisées par les complexes de module 1 : $r_1=e^{i30°}$ (première rotation, 30°) puis $r_2=e^{i45°}$ (seconde rotation, 45°). L'objet est initialement représenté par le vecteur complexe $v=5e^{i10°}$ (longueur 5, orienté à 10°).
1. Quelle est la rotation totale équivalente, en degrés, après application successive de $r_1$ puis $r_2$ ?
2. Calculer le vecteur final $v'=v\times r_1\times r_2$ sous forme exponentielle (module et argument).
3. Pourquoi la représentation complexe est-elle particulièrement adaptée à la composition de rotations planes, comparée à une manipulation directe des coordonnées $(x,y)$ ?