Étudier la fonction exp : croissance, convexité, croissances comparées, et l'inégalité fondamentale eˣ ≥ 1+x — les bases pour toute la suite du cours.
La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x\mapsto e^x$, est l'unique fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que :
$$f'=f \qquad \text{et} \qquad f(0)=1$$
Cette caractérisation par une équation différentielle (chapitre correspondant) est la définition la plus rigoureuse ; on retiendra en pratique ses propriétés algébriques et son graphe.
Pour tous $x,y\in\mathbb R$ :
$$e^{x+y} = e^x\,e^y$$
On en déduit immédiatement : $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$, $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$, et $(e^x)^n=e^{nx}$ pour $n\in\mathbb Z$. Valeurs à connaître : $e^0=1$, $e^1=e\approx2{,}71828$.
$\exp$ est définie et dérivable sur $\mathbb R$ tout entier, strictement croissante (car $\exp'=\exp>0$), et strictement positive. Limites : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ (asymptote horizontale $y=0$), $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
La courbe passe par $(0,1)$ et $(1,e)$, reste toujours strictement positive, et croît de plus en plus vite — la croissance exponentielle finit toujours par dépasser toute croissance polynomiale.
Pour tout entier $n\ge1$ :
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n\,e^x = 0$$
Autrement dit, l'exponentielle « écrase » toute puissance de $x$ en $+\infty$ (elle croît plus vite que n'importe quel polynôme), et tend vers $0$ « plus vite » que $x^n$ ne tend vers l'infini en $-\infty$. Ces limites, dites de forme indéterminée « $\infty/\infty$ » ou « $0\times\infty$ » avant simplification, sont extrêmement fréquentes en calcul de limites.
Si $u$ est une fonction dérivable, alors $\left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}$.
Dérivons $f(x)=e^{x^2-3x}$.
$u(x)=x^2-3x$, $u'(x)=2x-3$. Donc $f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}$.
Comme $\exp'(0)=\exp(0)=1$, la tangente à la courbe de $\exp$ au point $(0,1)$ a pour équation $y=1+x$. On en déduit l'inégalité classique, valable pour tout $x\in\mathbb R$ :
$$e^x \ge 1+x$$
avec égalité seulement en $x=0$ (la courbe, convexe, reste toujours au-dessus de sa tangente).
Simplifier $e^3\times e^{-5}$.
$e^3\times e^{-5}=e^{3-5}=e^{-2}$.
Simplifier $\dfrac{(e^x)^2}{e^{3x}}$.
$\dfrac{e^{2x}}{e^{3x}}=e^{2x-3x}=e^{-x}$.
Résoudre $e^x=e^3$.
$\exp$ étant strictement croissante (donc injective) sur $\mathbb R$, $e^x=e^3\iff x=3$.
Résoudre $e^{2x-1}=1$.
$1=e^0$, donc $e^{2x-1}=e^0\iff2x-1=0\iff x=\dfrac12$.
Résoudre $e^x>e^2$.
$\exp$ étant strictement croissante, $e^x>e^2\iff x>2$. L'ensemble solution est $]2,+\infty[$.
Dériver $f(x)=e^{5x}$.
$f'(x)=5e^{5x}$ (formule $\left(e^u\right)'=u'e^u$ avec $u(x)=5x$, $u'=5$).
Dériver $f(x)=x\,e^x$.
Par la règle du produit : $f'(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x$.
Dériver $f(x)=e^{-x^2}$.
$u(x)=-x^2$, $u'(x)=-2x$. $f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2-3)e^{-x}$.
$(x^2-3)e^{-x}=\dfrac{x^2-3}{e^x}$. Par croissances comparées, $\dfrac{x^2}{e^x}\to0$ quand $x\to+\infty$ (cours §4), donc la limite cherchée vaut $0$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x$.
C'est exactement la limite du cours §4 (cas $n=1$) : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$.
C'est le taux d'accroissement de $\exp$ en $0$ : $\dfrac{e^x-e^0}{x-0}\to\exp'(0)=\exp(0)=1$ quand $x\to0$.
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $1$.
$\exp(1)=e$, $\exp'(1)=e$. Tangente : $y=e+e(x-1)=ex$.
Étudier les variations de $f(x)=x\,e^{-x}$ sur $\mathbb R$ (dérivée, tableau de signes, limites).
$f'(x)=e^{-x}+x\times(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$. Comme $e^{-x}>0$ toujours, le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : $f'(x)>0$ sur $]-\infty,1[$, $f'(x)<0$ sur $]1,+\infty[$.
$f$ est donc croissante sur $]-\infty,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$, avec un maximum $f(1)=e^{-1}\approx0{,}368$.
Limites : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (produit de $-\infty$ par $e^{-x}\to+\infty$). $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (croissances comparées, cours §4).
Résoudre $e^x=3$ (une valeur exacte, exprimée avec $\ln$, sera admise ici — le logarithme est étudié au cours suivant).
$x=\ln3\approx1{,}0986$ (la fonction réciproque de $\exp$, notée $\ln$, permet de « défaire » l'exponentielle — voir cours suivant).
Démontrer que $e^x\ge1+x$ pour tout $x\in\mathbb R$, en étudiant $g(x)=e^x-1-x$.
$g'(x)=e^x-1$. $g'(x)=0\iff x=0$ ; $g'(x)<0$ pour $x<0$, $g'(x)>0$ pour $x>0$ : $g$ admet un minimum global en $x=0$.
$g(0)=e^0-1-0=0$. Donc $g(x)\ge g(0)=0$ pour tout $x$, soit $e^x-1-x\ge0$, c'est-à-dire $e^x\ge1+x$, avec égalité uniquement en $x=0$.
Un isotope se désintègre selon $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$, avec $\lambda=0{,}023\ \mathrm{an}^{-1}$. Calculer sa demi-vie (temps au bout duquel $N(t)=N_0/2$), sachant que $t_{1/2}=\dfrac{\ln2}\lambda$.
$t_{1/2}=\dfrac{\ln2}{0{,}023}\approx30{,}14$ ans.
Une population de bactéries suit $P(t)=P_0e^{0{,}4t}$ ($t$ en heures). Quelle est la vitesse de croissance instantanée $P'(t)$ en fonction de $P(t)$ ?
$P'(t)=0{,}4P_0e^{0{,}4t}=0{,}4\,P(t)$ : la vitesse de croissance est toujours proportionnelle à la population actuelle — caractéristique de tout phénomène de croissance exponentielle, directement lié à l'équation différentielle $f'=kf$ (chapitre correspondant).
Comparer $e^{30}$ et $30^{10}$, puis $e^{50}$ et $50^{10}$. Commenter.
$e^{30}\approx1{,}069\times10^{13}$, $30^{10}\approx5{,}905\times10^{14}$ : ici $30^{10}$ est encore plus grand que $e^{30}$.
$e^{50}\approx5{,}185\times10^{21}$, $50^{10}\approx9{,}766\times10^{16}$ : cette fois $e^{50}$ dépasse largement $50^{10}$ — le « croisement » a eu lieu entre $x=30$ et $x=50$, illustration concrète du théorème des croissances comparées (cours §4) : l'exponentielle finit toujours par dominer, même si cela peut prendre du temps pour de grandes puissances.
Résoudre $e^{2x}-3e^x+2=0$.
Posons $t=e^x>0$. L'équation devient $t^2-3t+2=0$, soit $(t-1)(t-2)=0$ : $t=1$ ou $t=2$.
$t=1\Rightarrow e^x=1\Rightarrow x=0$. $t=2\Rightarrow e^x=2\Rightarrow x=\ln2\approx0{,}693$. Les deux solutions sont valides ($t>0$ dans les deux cas).
Soit $h(x)=e^x-x^2$. (a) Calculer $h'(x)$ et $h''(x)$. (b) Montrer que $h''(x)>0$ pour $x>\ln2$. (c) En admettant que $h$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et que $h(0)=1>0$, que peut-on dire du signe de $h$ sur $\mathbb R$ (sans étude complète) ?
(a) $h'(x)=e^x-2x$. $h''(x)=e^x-2$.
(b) $h''(x)>0\iff e^x>2\iff x>\ln2$ (par stricte croissance de $\exp$, exercice 5).
(c) D'après le théorème des croissances comparées (cours §4, avec $n=2$), $e^x$ domine $x^2$ en $+\infty$, donc $h(x)\to+\infty$. Avec $h(0)=1>0$ et la croissance exponentielle qui l'emporte toujours à terme sur le terme polynomial $-x^2$, on peut conjecturer que $h$ reste strictement positive sur tout $\mathbb R$ — un résultat qu'une étude complète des variations (minimum local) confirmerait rigoureusement.
Exercice A — Soit $f(x)=(x-1)e^x$ définie sur $\mathbb R$.
1. Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer que $e^x\ge1+x$ pour tout réel $x$.
Une pièce métallique sortie d'un four à $T_0=90$°C est placée dans une salle à température ambiante $T_{amb}=20$°C. Sa température suit la loi $T(t)=T_{amb}+(T_0-T_{amb})e^{-kt}$, avec $k=0{,}1\ \mathrm{min}^{-1}$ et $t$ en minutes.
1. Calculer $T(5)$, $T(10)$ et $T(20)$ (arrondir au dixième).
2. Calculer la vitesse de refroidissement $T'(t)$, et vérifier qu'elle est toujours négative (la température décroît bien).
3. Au bout de combien de temps la température atteint-elle $30$°C ?