La réciproque de l'exponentielle : transformer un produit en somme, avec des applications directes en pH, décibels et magnitude sismique.
La fonction $\exp:\mathbb R\to\mathbb R_+^*$ est une bijection strictement croissante (chapitre précédent). Elle admet donc une fonction réciproque, définie sur $\mathbb R_+^*$ et à valeurs dans $\mathbb R$, appelée logarithme népérien et notée $\ln$.
Pour $x>0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$. Autrement dit :
$$y=\ln x \iff e^y=x \qquad (x>0)$$
Conséquences immédiates : $\ln(e^x)=x$ pour tout $x\in\mathbb R$, et $e^{\ln x}=x$ pour tout $x>0$. Valeurs à connaître : $\ln1=0$ (car $e^0=1$), $\ln e=1$ (car $e^1=e$).
Pour tous $a,b>0$ :
$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$
On en déduit : $\ln\left(\dfrac1a\right)=-\ln a$, $\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln a-\ln b$, et $\ln(a^n)=n\ln a$ pour $n\in\mathbb Z$ (et plus généralement $\ln(a^r)=r\ln a$ pour $r\in\mathbb R$, $a>0$). C'est cette propriété — transformer un produit en somme — qui explique l'utilité historique du logarithme pour simplifier des calculs, et son omniprésence encore aujourd'hui (échelles logarithmiques, décibels, pH, magnitude sismique...).
$\ln$ est définie et dérivable sur $\mathbb R_+^*$, de dérivée $\ln'(x)=\dfrac1x>0$ : elle est donc strictement croissante. Limites : $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ (asymptote verticale $x=0$), $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ (mais très lentement).
Le graphe de $\ln$ est le symétrique de celui de $\exp$ par rapport à la droite $y=x$ (propriété générale des fonctions réciproques) — la courbe passe par $(1,0)$ et $(e,1)$, exactement les symétriques de $(0,1)$ et $(1,e)$ vus pour $\exp$.
Pour tout entier $n\ge1$ :
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x^n\ln x = 0$$
Le logarithme croît vers $+\infty$, mais infiniment plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$ : c'est en quelque sorte l'inverse du théorème analogue pour $\exp$ (cours précédent) — cohérent, puisque $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.
Si $u$ est dérivable et strictement positive, alors $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}u$.
Dérivons $f(x)=\ln(x^2+1)$.
$u(x)=x^2+1>0$ toujours, $u'(x)=2x$. Donc $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Une autre base courante en sciences est le logarithme décimal, noté $\log$ ou $\log_{10}$, défini par $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln10}$. Il vérifie $\log(10^n)=n$ pour $n\in\mathbb Z$, ce qui le rend pratique pour repérer des ordres de grandeur (pH, échelle de Richter, décibels...). Toutes les propriétés algébriques de $\ln$ (produit, quotient, puissance) se transposent identiquement à $\log$.
Simplifier $\ln(e^3)$.
$\ln(e^3)=3$ (propriété $\ln(e^x)=x$).
Simplifier $e^{\ln5}$.
$e^{\ln5}=5$ (propriété $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$).
Sachant $\ln2\approx0{,}693$ et $\ln3\approx1{,}099$, calculer $\ln12$.
$12=2^2\times3$, donc $\ln12=2\ln2+\ln3$.
$\ln12\approx2(0{,}693)+1{,}099=1{,}386+1{,}099=2{,}485$.
Exprimer $\ln\left(\dfrac17\right)$ en fonction de $\ln7$.
$\ln\left(\dfrac17\right)=-\ln7$ (propriété du cours §2).
Résoudre $\ln x=2$.
$x=e^2\approx7{,}389$.
Résoudre $\ln(2x-1)=0$.
$\ln(2x-1)=0\iff2x-1=e^0=1\iff x=1$. On vérifie le domaine : $2(1)-1=1>0$ ✓.
Résoudre $\ln x>3$.
$\ln$ étant strictement croissante, $\ln x>3\iff x>e^3$ (et implicitement $x>0$, déjà inclus). Ensemble solution : $]e^3,+\infty[\approx]20{,}09\,;+\infty[$.
Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\ln(3-x)$.
Il faut $3-x>0$, soit $x<3$. Domaine : $]-\infty,3[$.
Dériver $f(x)=\ln(5x+2)$ (préciser le domaine).
Domaine : $5x+2>0\iff x>-\dfrac25$. $f'(x)=\dfrac5{5x+2}$.
Dériver $f(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$.
$f'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1$.
Dériver $f(x)=(\ln x)^2$.
Composée avec $u(x)=\ln x$ : $f(x)=u^2$, $f'(x)=2u\times u'=2\ln x\times\dfrac1x=\dfrac{2\ln x}x$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt x}$.
Par croissances comparées (cours §4, cas où $x^n$ est remplacé par $\sqrt x=x^{1/2}$, résultat qui s'étend aux exposants réels positifs), cette limite vaut $0$ : $\ln x$ croît infiniment plus lentement que $\sqrt x$.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x$.
C'est exactement la limite du cours §4 (cas $n=1$) : $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$, malgré le fait que $\ln x\to-\infty$.
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$.
$\ln(1)=0$, $\ln'(1)=1$. Tangente : $y=0+1\times(x-1)=x-1$.
Résoudre $\ln x+\ln(x-3)=\ln4$.
Domaine : il faut $x>0$ et $x-3>0$, soit $x>3$.
$\ln x+\ln(x-3)=\ln(x(x-3))=\ln4\iff x(x-3)=4\iff x^2-3x-4=0\iff(x-4)(x+1)=0$.
$x=4$ ou $x=-1$. Seul $x=4$ respecte le domaine ($4>3$) : c'est l'unique solution.
Le pH d'une solution est donné par $\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm H^+]$, où $[\mathrm H^+]$ est la concentration en ions H⁺ (mol/L). Calculer le pH d'une solution à $[\mathrm H^+]=3{,}2\times10^{-4}$ mol/L.
$\mathrm{pH}=-\log_{10}(3{,}2\times10^{-4})\approx3{,}495$ — une solution acide (pH$<7$).
Sur l'échelle de Richter, une augmentation de magnitude $\Delta M$ correspond à un facteur d'énergie libérée de $10^{1{,}5\Delta M}$. Quel est le facteur d'énergie entre un séisme de magnitude 7 et un séisme de magnitude 5 ?
$\Delta M=2$. Facteur $=10^{1{,}5\times2}=10^3=1\,000$ : un séisme de magnitude 7 libère environ mille fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 5 — un exemple frappant de la puissance des échelles logarithmiques pour représenter des grandeurs s'étalant sur plusieurs ordres de grandeur.
Montrer que la fonction $\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$.
$\ln'(x)=\dfrac1x$, donc $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ pour tout $x>0$ : la fonction $\ln$ est bien concave sur tout son domaine (courbe toujours en dessous de ses tangentes) — à l'opposé de $\exp$, qui est convexe (cours précédent).
Résoudre $\log_{10}(x)=3$.
$x=10^3=1\,000$ (propriété caractéristique du logarithme décimal, cours §6).
Soit $g(x)=\ln x-x+2$ sur $]0,+\infty[$. (a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. (b) Calculer $g(1)$. (c) Sachant que $g$ est croissante puis décroissante avec un maximum en $x=1$, et que $g(4)\approx-0{,}614<0$, que peut-on en déduire sur le nombre de solutions de $g(x)=0$ sur $]1,+\infty[$ ?
(a) $g'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}x$. Pour $x>0$, le signe de $g'$ est celui de $1-x$ : $g'>0$ sur $]0,1[$, $g'<0$ sur $]1,+\infty[$.
(b) $g(1)=\ln1-1+2=0-1+2=1>0$.
(c) $g$ est décroissante sur $[1,+\infty[$, passant de $g(1)=1>0$ à $g(4)\approx-0{,}614<0$ : par le théorème des valeurs intermédiaires (continuité de $g$, chapitre correspondant), $g$ s'annule exactly une fois sur $]1,4[$. Comme $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle, cette solution est unique sur $[1,+\infty[$ — et $g$ étant strictement croissante puis positive sur $]0,1]$ (avec $g\to-\infty$ en $0^+$ par croissances comparées), on peut montrer par une étude complète qu'il existe aussi une unique solution sur $]0,1[$, soit deux solutions au total sur $]0,+\infty[$.
Exercice A — Soit $h(x)=x-\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$.
1. Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de $h$ et donner la valeur du minimum.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)$.
4. En déduire le signe de $h(x)$ pour tout $x>0$, c'est-à-dire une inégalité classique entre $x$ et $\ln x$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer que le graphe de $\ln$ est le symétrique du graphe de $\exp$ par rapport à la droite $y=x$.
Le niveau sonore, en décibels, est défini par $L=10\log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où $I$ est l'intensité sonore (W/m²) et $I_0=10^{-12}$ W/m² (seuil d'audibilité).
1. Calculer $L$ pour $I=10^{-6}$ W/m² (conversation normale), $I=10^{-3}$ W/m² (circulation dense), et $I=1$ W/m² (seuil de la douleur).
2. Une réglementation impose un niveau maximal de $85$ dB en milieu de travail. Calculer l'intensité $I$ correspondant à cette limite.
3. Si l'intensité sonore double, de combien augmente le niveau en décibels ? Le résultat dépend-il de l'intensité de départ ?