Décomposer P(x)/Q(x) en éléments simples pour rendre son intégration immédiate : la méthode du cache, les racines multiples, et les facteurs irréductibles du second degré.
Une fraction rationnelle $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (quotient de deux polynômes) n'a pas toujours une primitive « lisible » directement. La décomposition en éléments simples réécrit cette fraction comme une somme de termes élémentaires, chacun facile à intégrer (formes déjà rencontrées au chapitre « Primitives »).
Si $\deg P\ge\deg Q$, on effectue d'abord la division euclidienne de $P$ par $Q$ : $P=EQ+R$ avec $\deg R<\deg Q$, d'où $\dfrac PQ=E+\dfrac RQ$. La partie entière $E$ (un polynôme) s'intègre trivialement ; on décompose ensuite $\dfrac RQ$, où désormais le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
Si $Q(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$ avec les $a_i$ distincts, et $\deg R $$\frac{R(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots+\frac{A_n}{x-a_n}$$ Pour trouver $A_i$, on multiplie les deux membres par $(x-a_i)$ puis on évalue en $x=a_i$ (les autres termes s'annulent) : $$A_i = \frac{R(a_i)}{\displaystyle\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)}$$ Décomposons $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)}$. Forme : $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+2}$. $A$ : multiplier par $(x-1)$ et évaluer en $x=1$ : $A=\dfrac{2(1)+3}{1+2}=\dfrac53$. $B$ : multiplier par $(x+2)$ et évaluer en $x=-2$ : $B=\dfrac{2(-2)+3}{-2-1}=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac13$. Donc $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{5/3}{x-1}+\dfrac{1/3}{x+2}$. Le graphe de $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)}$ admet deux asymptotes verticales, exactement aux pôles $x=1$ et $x=-2$ — les points où le dénominateur s'annule et où chaque terme de la décomposition en éléments simples explose individuellement.
$\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}dx = \frac53\int\frac{dx}{x-1}+\frac13\int\frac{dx}{x+2} = \frac53\ln|x-1|+\frac13\ln|x+2|+c$.
Si $(x-a)$ apparaît avec la multiplicité $k$ dans $Q$, la décomposition comporte $k$ termes associés à cette racine :
$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}$$
Décomposons $\dfrac1{(x-1)^2(x+1)}$. Forme : $\dfrac A{x-1}+\dfrac B{(x-1)^2}+\dfrac C{x+1}$.
$B$ (coefficient de la puissance la plus haute) : multiplier par $(x-1)^2$, évaluer en $x=1$ : $B=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$.
$C$ : multiplier par $(x+1)$, évaluer en $x=-1$ : $C=\dfrac1{(-2)^2}=\dfrac14$.
$A$ : on identifie par un cas particulier (par exemple $x=0$) ou en comparant les coefficients de plus haut degré. On trouve $A=-\dfrac14$. Décomposition : $\dfrac1{(x-1)^2(x+1)}=\dfrac{-1/4}{x-1}+\dfrac{1/2}{(x-1)^2}+\dfrac{1/4}{x+1}$.
Si $Q$ contient un facteur $x^2+px+q$ sans racine réelle (discriminant négatif), le terme associé dans la décomposition est de la forme $\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$ (et non une simple constante au numérateur). On l'intègre en le décomposant en une partie $u'/u$ (logarithme) et une partie $1/(1+u^2)$ (arctangente), après avoir éventuellement complété le carré au dénominateur.
Intégrons $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^2+1}$ (déjà sous forme irréductible, $x^2+1$ n'ayant pas de racine réelle).
On sépare : $\dfrac{3x+1}{x^2+1}=\dfrac{3x}{x^2+1}+\dfrac1{x^2+1}$.
$\displaystyle\int f(x)\,dx = \frac32\ln(x^2+1)+\arctan x+c$ (premier terme : forme $u'/u$ avec $u=x^2+1$ ; second terme : forme arctangente directe).
Décomposer $\dfrac{x+5}{(x-2)(x+3)}$ en éléments simples.
Forme $\dfrac A{x-2}+\dfrac B{x+3}$. $A=\dfrac{2+5}{2+3}=\dfrac75$. $B=\dfrac{-3+5}{-3-2}=-\dfrac25$.
$\dfrac{x+5}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{7/5}{x-2}-\dfrac{2/5}{x+3}$.
Décomposer $\dfrac4{(x-1)(x+1)}$.
$A=\dfrac4{1+1}=2$. $B=\dfrac4{-1-1}=-2$.
$\dfrac4{(x-1)(x+1)}=\dfrac2{x-1}-\dfrac2{x+1}$.
Décomposer $\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ puis vérifier en $x=0$.
$A=\dfrac{-5-1}{-1-2}=2$. $B=\dfrac{10-1}{2+1}=3$. $\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac2{x+1}+\dfrac3{x-2}$.
Vérification en $x=0$ : membre de gauche $=\dfrac{-1}{(1)(-2)}=\dfrac12$. Membre de droite $=\dfrac21+\dfrac3{-2}=2-1{,}5=0{,}5$ ✓.
À partir du résultat de l'exercice 1, trouver une primitive de $\dfrac{x+5}{(x-2)(x+3)}$.
$\displaystyle\int\left(\dfrac{7/5}{x-2}-\dfrac{2/5}{x+3}\right)dx = \dfrac75\ln|x-2|-\dfrac25\ln|x+3|+c$.
Décomposer $\dfrac1{x^2-4}$.
$x^2-4=(x-2)(x+2)$. $A=\dfrac1{2+2}=\dfrac14$. $B=\dfrac1{-2-2}=-\dfrac14$.
$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac{1/4}{x-2}-\dfrac{1/4}{x+2}$.
Décomposer $\dfrac{2x^2+3x-1}{x(x-1)(x+1)}$.
Forme $\dfrac Ax+\dfrac B{x-1}+\dfrac C{x+1}$. $A=\dfrac{-1}{(-1)(1)}=1$. $B=\dfrac{2+3-1}{1\times2}=2$. $C=\dfrac{2-3-1}{(-1)(-2)}=-1$.
$\dfrac{2x^2+3x-1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac1x+\dfrac2{x-1}-\dfrac1{x+1}$.
Décomposer $\dfrac{x+2}{(x-1)^2}$.
Forme $\dfrac A{x-1}+\dfrac B{(x-1)^2}$. $B$ (terme dominant) : $B=1+2=3$.
$A$ : en développant $A(x-1)+B=x+2$, on identifie le coefficient de $x$ : $A=1$. Décomposition : $\dfrac{x+2}{(x-1)^2}=\dfrac1{x-1}+\dfrac3{(x-1)^2}$.
Décomposer $\dfrac3{x^2(x+1)}$.
Forme $\dfrac Ax+\dfrac B{x^2}+\dfrac C{x+1}$. $B=\dfrac3{0+1}=3$. $C=\dfrac3{1}=3$.
$A$ : en identifiant (par exemple à $x=1$) ou par développement, $A=-3$. Décomposition : $\dfrac3{x^2(x+1)}=-\dfrac3x+\dfrac3{x^2}+\dfrac3{x+1}$.
Décomposer $\dfrac{x^2+x+1}{x^3-x}$.
$x^3-x=x(x-1)(x+1)$. $A=\dfrac{1}{(-1)(1)}=-1$. $B=\dfrac{1+1+1}{1\times2}=\dfrac32$. $C=\dfrac{1-1+1}{(-1)(-2)}=\dfrac12$.
$\dfrac{x^2+x+1}{x^3-x}=-\dfrac1x+\dfrac{3/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac{5x+2}{x^2+1}$.
On sépare : $\dfrac{5x+2}{x^2+1}=\dfrac{5x}{x^2+1}+\dfrac2{x^2+1}$.
$\displaystyle\int f(x)dx=\dfrac52\ln(x^2+1)+2\arctan x+c$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{x^2+4x+8}$.
$x^2+4x+8=(x+2)^2+4$ (discriminant $16-32<0$, irréductible).
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x+2)^2+4}=\dfrac12\arctan\left(\dfrac{x+2}2\right)+c$ (forme du chapitre « Primitives », exercice 6, adaptée avec $u=x+2$).
Décomposer $\dfrac{x^2+1}{x-1}$ (le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur).
Division euclidienne : $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$, donc $\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac2{x-1}$.
La partie entière $x+1$ s'intègre trivialement ; il ne reste plus qu'à décomposer $\dfrac2{x-1}$, déjà sous forme simple.
Justifier pourquoi, pour trouver $A$ dans $\dfrac{R(x)}{(x-a)Q_1(x)}=\dfrac A{x-a}+\dfrac{\cdots}{Q_1(x)}$, on peut calculer $A=\dfrac{R(a)}{Q_1(a)}$ (« méthode du cache »).
En multipliant l'égalité par $(x-a)$ : $\dfrac{R(x)}{Q_1(x)}=A+(x-a)\times\dfrac{\cdots}{Q_1(x)}$. En évaluant en $x=a$, le second terme du membre de droite s'annule (facteur $(x-a)=0$), laissant $\dfrac{R(a)}{Q_1(a)}=A$ — d'où la méthode : « cacher » le facteur $(x-a)$ dans l'expression d'origine et évaluer le reste en $x=a$.
En automatique, la transformée de Laplace inverse d'une fraction rationnelle $\dfrac1{s(s+2)}$ nécessite sa décomposition en éléments simples. Décomposer $\dfrac1{s(s+2)}$.
$A=\dfrac1{0+2}=\dfrac12$. $B=\dfrac1{-2}=-\dfrac12$. $\dfrac1{s(s+2)}=\dfrac{1/2}s-\dfrac{1/2}{s+2}$ — chaque terme se retransforme ensuite facilement (table de transformées usuelles), ce qui explique l'importance systématique de cette technique en automatique et en traitement du signal.
Décomposer $\dfrac{2x+3}{(x+1)^2(x-1)}$.
Forme $\dfrac A{x+1}+\dfrac B{(x+1)^2}+\dfrac C{x-1}$. $B=\dfrac{-2+3}{-1-1}=-\dfrac12$. $C=\dfrac{2+3}{4}=\dfrac54$.
$A$ (identification) $=-\dfrac54$. $\dfrac{2x+3}{(x+1)^2(x-1)}=-\dfrac{5/4}{x+1}-\dfrac{1/2}{(x+1)^2}+\dfrac{5/4}{x-1}$.
Calculer $\displaystyle\int_3^4\dfrac{x+5}{(x-2)(x+3)}\,dx$ (utiliser l'exercice 1).
Primitive (exercice 4) : $F(x)=\dfrac75\ln|x-2|-\dfrac25\ln|x+3|$.
$F(4)-F(3)=\left(\dfrac75\ln2-\dfrac25\ln7\right)-\left(\dfrac75\ln1-\dfrac25\ln6\right)=\dfrac75\ln2-\dfrac25\ln7+\dfrac25\ln6\approx0{,}970-0{,}778+0{,}717\approx0{,}909$.
Décomposer $\dfrac1{(x-1)(x^2+1)}$.
Forme $\dfrac A{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$. $A=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$.
Par identification (par exemple en $x=0$ : $-1=-A+C\Rightarrow C=\frac12-1=-\frac12$, puis en comparant les coefficients de $x^2$ : $0=A+B\Rightarrow B=-\frac12$). $\dfrac1{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{(x+1)/2}{x^2+1}$.
Une réaction chimique du second ordre conduit à résoudre $\dfrac{dx}{dt}=k(a-x)(b-x)$. La séparation des variables mène à intégrer $\dfrac1{(a-x)(b-x)}$. Décomposer cette fraction (avec $a\neq b$).
$\dfrac1{(a-x)(b-x)}=\dfrac1{b-a}\left(\dfrac1{a-x}-\dfrac1{b-x}\right)$ (on vérifie facilement par réduction au même dénominateur) — une décomposition classique en cinétique chimique, qui permet ensuite d'intégrer directement chaque terme en logarithme, menant à la loi de vitesse intégrée du second ordre.
Vrai ou faux : « le nombre de coefficients inconnus dans une décomposition en éléments simples est toujours égal au degré du dénominateur ».
Vrai : chaque racine simple apporte 1 inconnue, chaque racine de multiplicité $k$ en apporte $k$, et chaque facteur irréductible de degré 2 en apporte 2 (numérateur $Bx+C$) — la somme de toutes ces contributions égale toujours le degré total du dénominateur, garantissant un système résoluble de façon unique.
Trouver une primitive complète de $f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2-1}$ (nécessite division euclidienne puis décomposition).
Division euclidienne : $x^3+2=x(x^2-1)+(x+2)$, donc $f(x)=x+\dfrac{x+2}{x^2-1}=x+\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}$.
Décomposition de $\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}$ : $A=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac32$, $B=\dfrac{-1+2}{-1-1}=-\dfrac12$.
$f(x)=x+\dfrac{3/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}$. Primitive : $F(x)=\dfrac{x^2}2+\dfrac32\ln|x-1|-\dfrac12\ln|x+1|+c$.
Exercice A — Soit $f(x)=\dfrac{3x^2-4x-5}{(x+1)(x-1)(x-3)}$.
1. Décomposer $f$ en éléments simples.
2. En déduire une primitive de $f$.
3. Calculer $\displaystyle\int_4^5f(x)\,dx$.
Exercice B — Question de cours
Pourquoi ne peut-on pas utiliser directement la « méthode du cache » pour trouver le coefficient $A$ dans une décomposition $\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}$, alors qu'elle fonctionne pour $B$ ?
En automatique, la réponse d'un système du premier ordre à un échelon a pour transformée de Laplace $F(s)=\dfrac{10}{s(s+5)}$. Pour trouver la réponse temporelle $f(t)$, il faut d'abord décomposer $F(s)$ en éléments simples.
1. Décomposer $F(s)=\dfrac{10}{s(s+5)}$ en éléments simples.
2. Sachant que la transformée inverse de $\dfrac1s$ est $1$ (échelon unité) et celle de $\dfrac1{s+5}$ est $e^{-5t}$, écrire $f(t)$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)$ et interpréter physiquement ce résultat (valeur en régime établi).