Intégrer sur un intervalle infini ou une fonction non bornée par passage à la limite : le critère de Riemann et le critère de comparaison pour trancher convergence ou divergence.
Une intégrale $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ est dite impropre (ou généralisée) dans deux situations :
Dans les deux cas, on ne peut pas appliquer directement la théorie de l'intégrale « ordinaire » : on procède par un passage à la limite.
Si $f$ est continue sur $[a,+\infty[$, on définit :
$$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{X\to+\infty}\int_a^Xf(x)\,dx$$
Si cette limite existe et est finie, l'intégrale est dite convergente ; sinon, elle est divergente.
Étudions $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^2}\,dx$.
$\displaystyle\int_1^X\frac1{x^2}dx=\left[-\frac1x\right]_1^X=1-\frac1X \xrightarrow[X\to+\infty]{} 1$. L'intégrale converge, et vaut $1$.
Même si la courbe de $1/x^2$ s'étend indéfiniment vers la droite, l'aire totale sous cette « queue infinie » reste finie — c'est tout le paradoxe (et l'intérêt) des intégrales impropres convergentes.
Étudions $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x}\,dx$.
$\displaystyle\int_1^X\frac1{x}dx=\Big[\ln x\Big]_1^X=\ln X \xrightarrow[X\to+\infty]{} +\infty$. L'intégrale diverge — malgré le fait que $1/x\to0$ aussi bien que $1/x^2$ !
Pour $a>0$ :
$$\int_a^{+\infty}\frac1{x^p}\,dx \text{ converge} \iff p>1$$
C'est le résultat de référence pour comparer d'autres intégrales impropres. Il montre que la frontière entre convergence et divergence est très fine : $p=1$ (juste en dessous du seuil) diverge, $p=1{,}0001$ converge déjà.
Si $f$ est continue sur $[a,b[$ mais non bornée en $b$ (ou non définie en $b$), on définit :
$$\int_a^bf(x)\,dx = \lim_{X\to b^-}\int_a^Xf(x)\,dx$$
Étudions $\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt x}\,dx$ ($f$ non définie en $0$).
$\displaystyle\int_\varepsilon^1\frac1{\sqrt x}dx=\Big[2\sqrt x\Big]_\varepsilon^1=2-2\sqrt\varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} 2$. L'intégrale converge, et vaut $2$ — malgré le fait que $f(x)\to+\infty$ quand $x\to0^+$ !
$\displaystyle\int_0^a\frac1{x^p}\,dx$ (avec $a>0$) converge $\iff p<1$ — exactement l'inverse du critère en $+\infty$ !
Si $0\le f(x)\le g(x)$ au voisinage de la borne impropre, et si $\displaystyle\int g$ converge, alors $\displaystyle\int f$ converge aussi. Contraposée : si $\displaystyle\int f$ diverge, alors $\displaystyle\int g$ diverge aussi.
Ce critère permet d'établir la nature (convergente/divergente) d'une intégrale sans la calculer explicitement, en la comparant à une intégrale de référence (typiquement de Riemann, §3-4).
Étudions la convergence de $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^2+1}\,dx$ sans la calculer.
Pour $x\ge1$, $\dfrac1{x^2+1}\le\dfrac1{x^2}$. Or $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^2}dx$ converge (§2). Par comparaison, $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^2+1}dx$ converge aussi.
Si l'intégrale est impropre aux deux bornes (par exemple $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}$, ou une borne infinie combinée à une fonction non bornée), on découpe en deux intégrales indépendantes en un point intermédiaire $c$, et l'intégrale globale converge si et seulement si chacune des deux converge séparément :
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^cf(x)\,dx + \int_c^{+\infty}f(x)\,dx$$
Étudier la nature de $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^3}\,dx$, et la calculer si elle converge.
$p=3>1$ : par le critère de Riemann (cours §3), l'intégrale converge.
$\displaystyle\int_1^X\frac1{x^3}dx=\left[-\frac1{2x^2}\right]_1^X=\frac12-\frac1{2X^2}\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac12$.
Étudier la nature de $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{\sqrt x}\,dx$.
$p=\dfrac12<1$ : par le critère de Riemann, l'intégrale diverge. En effet, $\displaystyle\int_1^X\frac1{\sqrt x}dx=2\sqrt X-2\xrightarrow[X\to+\infty]{}+\infty$.
Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx$.
$\displaystyle\int_0^Xe^{-2x}dx=\left[-\frac{e^{-2x}}2\right]_0^X=\frac12-\frac{e^{-2X}}2\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac12$. L'intégrale converge et vaut $\dfrac12$.
Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^1\frac1{x^{1/3}}\,dx$.
$p=\dfrac13<1$ : par le critère de Riemann en borne finie (cours §4), l'intégrale converge.
$\displaystyle\int_\varepsilon^1x^{-1/3}dx=\left[\frac32x^{2/3}\right]_\varepsilon^1=\frac32-\frac32\varepsilon^{2/3}\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{}\frac32$.
Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^1\frac1{x^2}\,dx$.
$p=2>1$ : par le critère de Riemann en borne finie, l'intégrale diverge (contrairement à l'exercice précédent avec $p=1/3<1$). En effet $\displaystyle\int_\varepsilon^1x^{-2}dx=\frac1\varepsilon-1\xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{}+\infty$.
Montrer, sans la calculer, que $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^3+1}\,dx$ converge.
Pour $x\ge1$, $x^3+1\ge x^3>0$, donc $\dfrac1{x^3+1}\le\dfrac1{x^3}$. Or $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^3}dx$ converge (exercice 1). Par le critère de comparaison (cours §5), $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^3+1}dx$ converge aussi.
Calculer $\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac1{x(\ln x)^2}\,dx$ (poser $t=\ln x$).
$t=\ln x$, $dt=\dfrac1xdx$. Bornes : $x=2\Rightarrow t=\ln2$ ; $x=X\Rightarrow t=\ln X$.
$\displaystyle\int_2^X\frac{dx}{x(\ln x)^2}=\int_{\ln2}^{\ln X}\frac{dt}{t^2}=\left[-\frac1t\right]_{\ln2}^{\ln X}=\frac1{\ln2}-\frac1{\ln X}\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac1{\ln2}\approx1{,}443$.
Calculer $\displaystyle\int_{-\infty}^0e^x\,dx$.
$\displaystyle\int_{-X}^0e^xdx=\Big[e^x\Big]_{-X}^0=1-e^{-X}\xrightarrow[X\to+\infty]{}1$. L'intégrale converge et vaut $1$.
Calculer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{1+x^2}\,dx$.
On découpe en $0$ : $\displaystyle\int_{-\infty}^0+\int_0^{+\infty}$. $\displaystyle\int_0^X\frac{dx}{1+x^2}=\arctan X\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac\pi2$. Par symétrie, $\displaystyle\int_{-\infty}^0\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2$ aussi.
Total : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2+\frac\pi2=\pi$.
Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx$ (intégration par parties puis limite).
$\displaystyle\int_0^Xxe^{-x}dx=\Big[-xe^{-x}\Big]_0^X+\int_0^Xe^{-x}dx=-Xe^{-X}+(1-e^{-X})$.
Quand $X\to+\infty$ : $Xe^{-X}\to0$ (croissances comparées) et $e^{-X}\to0$, donc la limite vaut $0+1-0=1$. L'intégrale converge et vaut $1$.
Démontrer que $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^p}\,dx$ converge pour $p>1$ (cas $p\neq1$ traité algébriquement).
Pour $p\neq1$ : $\displaystyle\int_1^X x^{-p}dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^X=\frac{X^{1-p}-1}{1-p}$.
Si $p>1$, alors $1-p<0$, donc $X^{1-p}\to0$ quand $X\to+\infty$ : la limite vaut $\dfrac{0-1}{1-p}=\dfrac1{p-1}$, finie. L'intégrale converge. (Si $p<1$, $1-p>0$ et $X^{1-p}\to+\infty$ : divergence.)
Calculer $\displaystyle\int_0^1\ln x\,dx$.
Une primitive de $\ln x$ est $x\ln x-x$ (chapitre « Intégration par parties »).
$\displaystyle\int_\varepsilon^1\ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_\varepsilon^1=(0-1)-(\varepsilon\ln\varepsilon-\varepsilon)$. Comme $\varepsilon\ln\varepsilon\to0$ quand $\varepsilon\to0^+$ (croissances comparées), la limite vaut $-1-0=-1$. L'intégrale converge et vaut $-1$.
Calculer $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx$.
$t=x^2+1$, $dt=2x\,dx$. $\displaystyle\int_1^X\frac{2x}{(x^2+1)^2}dx=\int_2^{X^2+1}\frac{dt}{t^2}=\left[-\frac1t\right]_2^{X^2+1}=\frac12-\frac1{X^2+1}$.
Quand $X\to+\infty$ : limite $=\dfrac12-0=\dfrac12$. L'intégrale converge et vaut $\dfrac12$.
La densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ est $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\ge0$. Vérifier que $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx=1$ (condition de normalisation d'une densité).
$\displaystyle\int_0^X\lambda e^{-\lambda x}dx=\Big[-e^{-\lambda x}\Big]_0^X=1-e^{-\lambda X}\xrightarrow[X\to+\infty]{}1$ (car $\lambda>0$). L'aire totale sous la densité vaut bien $1$, condition nécessaire pour qu'il s'agisse effectivement d'une densité de probabilité.
Le travail nécessaire pour envoyer un objet de masse $m$ depuis la surface terrestre (rayon $R$) jusqu'à l'infini, contre la gravité $F(x)=\dfrac{GMm}{x^2}$, est $W=\displaystyle\int_R^{+\infty}F(x)\,dx$. Calculer $W$ en fonction de $G,M,m,R$.
$\displaystyle\int_R^X\frac{GMm}{x^2}dx=GMm\left[-\frac1x\right]_R^X=GMm\left(\frac1R-\frac1X\right)\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac{GMm}R$. L'intégrale converge (cas $p=2>1$, exercice 1) : le travail total pour « échapper » à la gravité terrestre est fini, égal à $\dfrac{GMm}R$ — c'est la base du calcul de la vitesse de libération en mécanique spatiale.
Étudier la nature de $\displaystyle\int_e^{+\infty}\frac1{x\ln x}\,dx$.
$t=\ln x$, $dt=dx/x$. $\displaystyle\int_e^X\frac{dx}{x\ln x}=\int_1^{\ln X}\frac{dt}t=\Big[\ln t\Big]_1^{\ln X}=\ln(\ln X)$.
Quand $X\to+\infty$, $\ln(\ln X)\to+\infty$ (très lentement, mais sans limite finie) : l'intégrale diverge — un cas limite entre $1/(x\ln x)$ (diverge) et $1/(x(\ln x)^2)$ (converge, exercice 7).
Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^1\frac1{1-x}\,dx$ ($f$ non bornée en $x=1$).
$\displaystyle\int_0^X\frac{dx}{1-x}=\Big[-\ln|1-x|\Big]_0^X=-\ln(1-X)\xrightarrow[X\to1^-]{}+\infty$ (car $1-X\to0^+$). L'intégrale diverge.
Montrer que $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{e^{-x}}x\,dx$ converge, en la comparant à $\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-x}\,dx$.
Pour $x\ge1$, $\dfrac1x\le1$, donc $\dfrac{e^{-x}}x\le e^{-x}$ (les deux termes étant positifs).
$\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$ converge (même type que l'exercice 3). Par comparaison (cours §5), $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{e^{-x}}xdx$ converge aussi.
Calculer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-x^2}\,dx$.
$f(x)=xe^{-x^2}$ est une fonction impaire. On découpe en $0$ : $\displaystyle\int_0^Xxe^{-x^2}dx=\left[-\frac{e^{-x^2}}2\right]_0^X=\frac12-\frac{e^{-X^2}}2\xrightarrow[X\to+\infty]{}\frac12$.
Par imparité, $\displaystyle\int_{-\infty}^0xe^{-x^2}dx=-\frac12$. Total : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-x^2}dx=-\frac12+\frac12=0$.
Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{\sqrt x(1+x)}\,dx$ (impropre en $0$ ET en $+\infty$).
On découpe en $x=1$ : $\displaystyle\int_0^1+\int_1^{+\infty}$.
Sur $[0,1]$ : au voisinage de $0$, $\dfrac1{\sqrt x(1+x)}\sim\dfrac1{\sqrt x}$ (car $1+x\to1$), et $\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt x}dx$ converge ($p=1/2<1$, exercice 4-type) : par comparaison, cette partie converge.
Sur $[1,+\infty[$ : $\dfrac1{\sqrt x(1+x)}\le\dfrac1{\sqrt x\cdot x}=\dfrac1{x^{3/2}}$ pour $x\ge1$, et $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac1{x^{3/2}}dx$ converge ($p=3/2>1$) : par comparaison, cette partie converge aussi. L'intégrale globale converge donc, comme somme de deux morceaux convergents.
Exercice A
1. Étudier la nature de $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+1}{x^3}\,dx$ et la calculer.
2. Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^1\frac1{x^{0{,}8}}\,dx$ et la calculer.
Exercice B — Question de cours
Énoncer et justifier le critère de comparaison pour les intégrales impropres de fonctions positives.
Un échantillon radioactif contient initialement $N_0=1\,000$ noyaux, avec une constante de désintégration $\lambda=0{,}1\,\mathrm{an}^{-1}$. Le nombre de noyaux restants suit $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$, et l'activité (nombre de désintégrations par unité de temps) est $A(t)=\lambda N_0e^{-\lambda t}$.
1. Calculer $\displaystyle\int_0^{+\infty}A(t)\,dt$, le nombre total de désintégrations sur un temps infini.
2. Interpréter physiquement ce résultat : pourquoi retrouve-t-on exactement $N_0$ ?
3. Calculer le temps $T$ au bout duquel $90\%$ des désintégrations totales ont déjà eu lieu.