Dériver sous le signe intégral grâce à la règle de Leibniz : une technique puissante pour calculer des intégrales inaccessibles aux méthodes directes.
Certaines intégrales dépendent d'un paramètre $a$, en plus de la variable d'intégration $x$ :
$$F(a) = \int_{c}^{d} f(x,a)\,dx$$
Ici, $x$ est « consommée » par l'intégration (bornes fixes $c,d$), tandis que $a$ reste libre : $F$ est donc une fonction de $a$ seul. La question centrale de ce chapitre : peut-on dériver $F$ par rapport à $a$, et comment ?
Si $f(x,a)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial a}(x,a)$ sont continues sur $[c,d]\times I$ ($I$ intervalle contenant $a$), alors $F(a)=\displaystyle\int_c^df(x,a)\,dx$ est dérivable sur $I$, et :
$$F'(a) = \int_c^d \frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx$$
Autrement dit : sous des conditions de régularité raisonnables, on peut échanger les symboles $\dfrac{d}{da}$ et $\displaystyle\int$ — dériver « sous » l'intégrale, en traitant $x$ comme une constante lors de la dérivation partielle par rapport à $a$.
Méthode directe : $F(a)=\Big[\ln(x+a)\Big]_1^2=\ln(a+2)-\ln(a+1)$, donc $F'(a)=\dfrac1{a+2}-\dfrac1{a+1}=\dfrac{(a+1)-(a+2)}{(a+1)(a+2)}=\dfrac{-1}{(a+1)(a+2)}$.
Méthode Leibniz : $\dfrac{\partial}{\partial a}\left(\dfrac1{x+a}\right)=-\dfrac1{(x+a)^2}$, donc $F'(a)=\displaystyle\int_1^2\frac{-1}{(x+a)^2}dx=\left[\frac1{x+a}\right]_1^2=\dfrac1{a+2}-\dfrac1{a+1}=\dfrac{-1}{(a+1)(a+2)}$.
Les deux méthodes coïncident exactement — mais la méthode Leibniz est souvent plus rapide, et surtout indispensable quand $F(a)$ elle-même n'a pas de forme explicite calculable.
$F$ est une fonction ordinaire de $a$, avec sa propre courbe et ses propres tangentes. La règle de Leibniz donne un moyen direct de calculer la pente de cette courbe (la dérivée $F'(a)$) sans repasser par la fonction $F$ elle-même.
L'intérêt réel de la règle de Leibniz apparaît quand $F(a)$ n'admet pas de primitive « fermée » en $x$, mais que $\dfrac{\partial f}{\partial a}$ s'intègre facilement — on calcule alors $F'(a)$ sans jamais calculer $F(a)$ directement, puis on retrouve $F(a)$ par intégration en $a$ (chapitre « Primitives »), avec une constante fixée par une valeur particulière de $a$ facile à calculer.
1. Identifier ou introduire un paramètre $a$ dans l'intégrale. 2. Calculer $F'(a)$ par dérivation sous l'intégrale. 3. Intégrer $F'(a)$ par rapport à $a$ pour retrouver $F(a)+c$. 4. Déterminer $c$ en évaluant $F$ en une valeur de $a$ où le calcul est trivial (souvent $a=0$).
Si les bornes dépendent également de $a$, $F(a)=\displaystyle\int_{u(a)}^{v(a)}f(x,a)\,dx$ :
$$F'(a) = v'(a)f(v(a),a) - u'(a)f(u(a),a) + \int_{u(a)}^{v(a)}\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)\,dx$$
Pour $F(a)=\displaystyle\int_0^ax^2\,dx$ ($f(x,a)=x^2$ ne dépend pas de $a$, seule la borne supérieure varie) :
$F'(a)=1\times f(a,a)-0+\displaystyle\int_0^a0\,dx = a^2$. On vérifie directement : $F(a)=\dfrac{a^3}3$, donc $F'(a)=a^2$ ✓.
Si $f$ ne dépend pas de $a$ et que seule la borne supérieure varie, $F(a)=\displaystyle\int_c^af(x)\,dx$, la formule de Leibniz se réduit exactement à :
$$F'(a) = f(a)$$
C'est le théorème fondamental de l'analyse lui-même — la dérivation sous le signe intégral en est donc une généralisation naturelle, couvrant à la fois la dépendance en $a$ à l'intérieur de l'intégrande et celle des bornes.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^1(x^2+ax)\,dx$. Calculer $F(a)$ explicitement, puis $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac{ax^2}2\right]_0^1=\dfrac13+\dfrac a2$.
$F'(a)=\dfrac12$ (une constante, car $F$ est affine en $a$).
Retrouver $F'(a)$ de l'exercice 1 par la règle de Leibniz (dérivation sous le signe intégral).
$\dfrac{\partial}{\partial a}(x^2+ax)=x$. $F'(a)=\displaystyle\int_0^1x\,dx=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\dfrac12$ — identique au résultat direct ✓.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_a^{2a}x\,dx$ ($a>0$). Calculer $F(a)$ explicitement, puis $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{x^2}2\right]_a^{2a}=\dfrac{4a^2}2-\dfrac{a^2}2=\dfrac{3a^2}2$.
$F'(a)=3a$.
Retrouver $F'(a)$ de l'exercice 3 à l'aide de la formule de Leibniz généralisée (cours §5).
Ici $u(a)=a,\,v(a)=2a,\,f(x,a)=x$ (indépendant de $a$). $u'(a)=1,\,v'(a)=2$.
$F'(a)=v'(a)f(v(a),a)-u'(a)f(u(a),a)+\displaystyle\int_a^{2a}0\,dx = 2\times(2a)-1\times a+0=4a-a=3a$ ✓, cohérent avec l'exercice 3.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^{a^2}x\,dx$. Calculer $F(a)$ puis $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^{a^2}=\dfrac{a^4}2$.
$F'(a)=2a^3$ (à retrouver aussi via $F'(a)=v'(a)f(v(a))=2a\times a^2=2a^3$, avec $v(a)=a^2$, $v'(a)=2a$).
Pour $F(a)=\displaystyle\int_0^a\cos(t)\,dt$, calculer $F'(a)$ directement à l'aide du cours §6.
$F'(a)=\cos(a)$ (application immédiate du théorème fondamental de l'analyse, cas particulier de Leibniz avec $f$ indépendant de $a$ et une seule borne variable).
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^ae^{-x}\,dx$. Calculer $F(a)$ puis $F'(a)$.
$F(a)=\Big[-e^{-x}\Big]_0^a=1-e^{-a}$.
$F'(a)=e^{-a}$ (cohérent avec le théorème fondamental appliqué à $f(x)=e^{-x}$).
Utiliser la dérivation sous le signe intégral pour retrouver $F(a)=\displaystyle\int_0^1e^{ax}\,dx$ à partir de $F'(a)$.
$F'(a)=\displaystyle\int_0^1xe^{ax}\,dx$ (Leibniz). Par IPP (chapitre correspondant), on trouverait $F'(a)=\dfrac{(a-1)e^a+1}{a^2}$ pour $a\neq0$ — un calcul plus complexe que la méthode directe ici.
Ce cas illustre que la méthode Leibniz n'est pas toujours la plus simple : $F(a)=\dfrac{e^a-1}a$ (pour $a\neq0$) se calcule ici directement bien plus facilement. La méthode Leibniz devient décisive surtout quand $F(a)$ n'a aucune forme explicite calculable directement.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^1\dfrac1{1+ax^2}\,dx$. Calculer $F'(0)$ par la règle de Leibniz.
$\dfrac{\partial}{\partial a}\left(\dfrac1{1+ax^2}\right)=\dfrac{-x^2}{(1+ax^2)^2}$. En $a=0$ : $\dfrac{-x^2}{1}=-x^2$.
$F'(0)=\displaystyle\int_0^1(-x^2)\,dx=-\dfrac13$.
Retrouver le résultat de l'exercice 9 en utilisant l'approximation $\dfrac1{1+ax^2}\approx1-ax^2$ pour $a$ proche de $0$.
$F(a)\approx\displaystyle\int_0^1(1-ax^2)\,dx=1-\dfrac a3$ pour $a$ petit.
Donc $F'(0)=-\dfrac13$ ✓ — cohérent avec l'exercice 9, confirmant que la dérivation sous l'intégrale « attrape » exactement le terme linéaire du développement limité de l'intégrande.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^1(x+a)^3\,dx$. Calculer $F(a)$ explicitement, puis $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{(x+a)^4}4\right]_0^1=\dfrac{(1+a)^4-a^4}4$. En développant : $F(a)=a^3+\dfrac32a^2+a+\dfrac14$.
$F'(a)=3a^2+3a+1$ — on peut vérifier via Leibniz : $\dfrac{\partial}{\partial a}(x+a)^3=3(x+a)^2$, et $\displaystyle\int_0^13(x+a)^2dx=\Big[(x+a)^3\Big]_0^1=(1+a)^3-a^3=3a^2+3a+1$ ✓.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^\pi\cos(ax)\,dx$. Calculer $F(a)$ pour $a\neq0$, et $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{\sin(ax)}a\right]_0^\pi=\dfrac{\sin(a\pi)}a$ pour $a\neq0$ (et $F(0)=\pi$ par continuité/limite).
$F'(a)=\dfrac{\pi a\cos(a\pi)-\sin(a\pi)}{a^2}$ (par dérivation d'un quotient) — un calcul bien plus direct via Leibniz : $F'(a)=\displaystyle\int_0^\pi(-x\sin(ax))dx$, à intégrer par IPP.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_{-a}^{a}x^2\,dx$ ($a>0$). Calculer $F(a)$ explicitement, puis $F'(a)$.
$F(a)=\left[\dfrac{x^3}3\right]_{-a}^a=\dfrac{a^3}3-\dfrac{-a^3}3=\dfrac{2a^3}3$.
$F'(a)=2a^2$ — à retrouver via Leibniz généralisée : $F'(a)=1\times f(a)-(-1)\times f(-a)+0=a^2+(-a)^2=2a^2$ ✓ ($f(x)=x^2$ ne dépendant pas de $a$).
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^2(3x^2-2ax)\,dx$. Calculer $F(a)$, puis $F'(a)$.
$F(a)=\Big[x^3-ax^2\Big]_0^2=8-4a$.
$F'(a)=-4$ (cohérent avec Leibniz : $\dfrac{\partial}{\partial a}(3x^2-2ax)=-2x$, $\displaystyle\int_0^2(-2x)dx=\Big[-x^2\Big]_0^2=-4$ ✓).
En probabilités, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire $X$ de densité $f$ est $M(a)=\mathbb E[e^{aX}]=\displaystyle\int f(x)e^{ax}\,dx$. Expliquer pourquoi $M'(0)=\mathbb E[X]$ (l'espérance) découle directement de la règle de Leibniz.
Par Leibniz, $M'(a)=\displaystyle\int f(x)\,xe^{ax}\,dx$. En $a=0$ : $M'(0)=\displaystyle\int xf(x)\,dx=\mathbb E[X]$, par définition même de l'espérance — c'est cette propriété qui rend la fonction génératrice des moments si utile : chaque dérivée successive en $a=0$ donne directement un moment de $X$ ($M''(0)=\mathbb E[X^2]$, etc.), sans avoir à recalculer une intégrale à chaque fois.
Vrai ou faux : « la règle de Leibniz permet toujours d'échanger dérivation et intégration, sans aucune condition ».
Faux (cours §2) : il faut que $f(x,a)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial a}$ soient continues sur le domaine considéré. Pour des intégrales impropres (bornes infinies notamment), des conditions supplémentaires de convergence uniforme peuvent être nécessaires, sans quoi l'échange peut donner un résultat faux.
Pour $F(a)=\displaystyle\int_1^2\ln(x+a)\,dx$, calculer $F'(a)$ uniquement par Leibniz (sans calculer $F(a)$ d'abord).
$\dfrac{\partial}{\partial a}\ln(x+a)=\dfrac1{x+a}$. $F'(a)=\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x+a}=\Big[\ln(x+a)\Big]_1^2=\ln(a+2)-\ln(a+1)$ — un calcul direct et rapide, sans jamais devoir intégrer $\ln(x+a)$ par parties.
Expliquer pourquoi introduire un paramètre $a$ « artificiellement » (là où l'intégrale de départ n'en avait pas) peut aider à calculer certaines intégrales difficiles (méthode de Feynman, cours §4).
En introduisant un paramètre $a$ tel que l'intégrale de départ corresponde à une valeur particulière de $a$ (souvent $a=1$ ou $a=0$), on peut parfois calculer $F'(a)$ beaucoup plus facilement que $F(a)$ elle-même directement — puis retrouver $F(a)$ par intégration, et enfin évaluer à la valeur de $a$ recherchée. Cette stratégie (« différencier sous l'intégrale ») a permis de résoudre des intégrales célèbres qui résistent à toutes les techniques élémentaires (primitives, IPP, substitution) appliquées directement.
L'énergie dissipée dans une résistance $R$ pendant $[0,T]$ est $E(R)=\displaystyle\int_0^TRi(t)^2\,dt$, où $i(t)$ ne dépend pas de $R$. Calculer $\dfrac{dE}{dR}$ par la règle de Leibniz, et interpréter physiquement le résultat.
$\dfrac{\partial}{\partial R}(Ri(t)^2)=i(t)^2$, donc $\dfrac{dE}{dR}=\displaystyle\int_0^Ti(t)^2\,dt$.
Interprétation : puisque $E(R)=R\displaystyle\int_0^Ti(t)^2dt$ (une fonction affine de $R$, car $i(t)$ ne dépend pas de $R$), la dérivée $\dfrac{dE}{dR}$ est simplement le facteur constant $\displaystyle\int_0^Ti(t)^2dt$ — cohérent avec le fait que l'énergie dissipée est directement proportionnelle à la résistance, pour un courant donné.
Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^a(x+a)\,dx$ (paramètre à la fois dans la borne et dans l'intégrande). Calculer $F(a)$ explicitement, puis $F'(a)$ par les deux méthodes (directe et Leibniz généralisée), et vérifier qu'elles coïncident.
Méthode directe : $F(a)=\left[\dfrac{x^2}2+ax\right]_0^a=\dfrac{a^2}2+a^2=\dfrac{3a^2}2$. Donc $F'(a)=3a$.
Méthode Leibniz généralisée : $u(a)=0,\,v(a)=a,\,f(x,a)=x+a$. $u'(a)=0,\,v'(a)=1$.
$F'(a)=1\times f(a,a)-0\times f(0,a)+\displaystyle\int_0^a\frac{\partial}{\partial a}(x+a)\,dx = (a+a)-0+\int_0^a1\,dx = 2a+a=3a$ ✓. Les deux méthodes coïncident exactement, illustrant la formule complète du cours §5 dans le cas le plus général (paramètre à la fois dans les bornes et dans l'intégrande).
Exercice A — Soit $F(a)=\displaystyle\int_0^2(x^2-3ax+a^2)\,dx$.
1. Calculer $F(a)$ explicitement.
2. En déduire $F'(a)$ par dérivation directe.
3. Retrouver $F'(a)$ par la règle de Leibniz, sans repasser par $F(a)$.
Exercice B — Question de cours
Énoncer la formule de Leibniz généralisée (bornes dépendant du paramètre) et expliquer en quoi le théorème fondamental de l'analyse en est un cas particulier.
Un mobile a une vitesse $v(t)=kt$ (m/s), où $k>0$ est un coefficient d'accélération réglable (paramètre de conception). La distance parcourue entre $t=0$ et $t=10$ s est $d(k)=\displaystyle\int_0^{10}kt\,dt$.
1. Calculer $d(k)$ explicitement.
2. Calculer $\dfrac{dd}{dk}$ par dérivation directe, puis par la règle de Leibniz.
3. Interpréter physiquement $\dfrac{dd}{dk}$ : que représente cette dérivée pour un ingénieur qui règle le paramètre $k$ ?
4. Si l'on souhaite augmenter la distance parcourue de $5$ m en ajustant légèrement $k$, de combien faut-il approximativement augmenter $k$ ?