Transformer une intégrale difficile en une autre plus simple grâce à la dérivée d'un produit : la méthode incontournable pour polynômes × exponentielle, logarithme, arctangente.
L'intégration par parties (IPP) découle directement de la formule de dérivation d'un produit. Si $u,v$ sont dérivables sur $[a,b]$, à dérivées continues :
$$(uv)' = u'v+uv'$$
En intégrant cette égalité entre $a$ et $b$, et en utilisant que $\displaystyle\int_a^b(uv)'(x)\,dx = [uv]_a^b$ (le fait qu'une primitive de $(uv)'$ est $uv$) :
$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$
L'idée : transformer une intégrale « difficile » ($\int u'v$) en une autre, plus simple ($\int uv'$), en choisissant intelligemment quel facteur dériver ($v$) et lequel intégrer ($u'$).
On choisit $v$ (le facteur qu'on va dériver) de façon à le « simplifier » par dérivation — typiquement $v=x^n$ (qui perd un degré) ou $v=\ln x$ (dont la dérivée $1/x$ est algébrique, plus simple qu'un logarithme). On choisit $u'$ (le facteur qu'on va intégrer) parmi les fonctions faciles à primitiver : $e^x$, $\cos x$, $\sin x$…
Un moyen mnémotechnique classique est l'ordre de priorité « L.I.A.T.E » (Logarithme, fonction Inverse trigonométrique, fonction Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle) : on choisit $v$ en priorité dans cet ordre.
On pose $v=x$ (donc $v'=1$) et $u'=e^x$ (donc $u=e^x$).
$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1\times e^x\,dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1$$
$= (1\times e-0)-(e-1) = e-e+1 = 1$.
L'intégrale $\int xe^x\,dx$ (difficile directement) s'est transformée en $\int e^x\,dx$ (immédiate) — c'est tout l'intérêt de la méthode.
L'aire sous la courbe de $f(x)=xe^x$ entre $0$ et $1$ vaut exactement $1$ — un résultat obtenu directement grâce à l'IPP, sans avoir besoin de connaître à l'avance une primitive de $xe^x$.
Ici, un seul facteur : on écrit $\ln x=1\times\ln x$, et on pose $v=\ln x$ (donc $v'=1/x$), $u'=1$ (donc $u=x$).
$$\int_1^e\ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x\times\frac1x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e1\,dx$$
$= (e\times1-1\times0)-(e-1) = e-e+1 = 1$.
Pour un polynôme de degré $n$ multiplié par $e^x$, $\cos x$ ou $\sin x$, il faut appliquer l'IPP $n$ fois (le degré du polynôme diminue de 1 à chaque application).
Trouvons une primitive de $f(x)=x^2e^x$.
1ʳᵉ IPP : $v=x^2,v'=2x,u'=e^x,u=e^x$. $\int x^2e^x\,dx = x^2e^x-\int2xe^x\,dx$.
2ᵉ IPP sur $\int2xe^x\,dx$ : $v=2x,v'=2,u=e^x$. $\int2xe^x\,dx=2xe^x-\int2e^x\,dx=2xe^x-2e^x$.
En combinant : $\int x^2e^x\,dx = x^2e^x-(2xe^x-2e^x)+c = (x^2-2x+2)e^x+c$.
Pour certaines intégrales (par exemple $\int e^x\cos x\,dx$), deux IPP successives font réapparaître l'intégrale de départ, avec un coefficient différent de 1 — on résout alors une équation algébrique en l'intégrale cherchée, plutôt que de continuer indéfiniment.
Si en refaisant l'IPP on retombe exactement sur la même intégrale (coefficient 1), la méthode « boucle » sans avancer : il faut alors choisir un découpage $u,v$ différent, ou reconnaître que l'IPP n'est pas adaptée à ce cas précis.
Trouver une primitive de $f(x)=xe^{2x}$.
$v=x,v'=1,u'=e^{2x},u=\dfrac{e^{2x}}2$.
$\displaystyle\int xe^{2x}dx = \dfrac{xe^{2x}}2-\int\dfrac{e^{2x}}2dx = \dfrac{xe^{2x}}2-\dfrac{e^{2x}}4 = \dfrac{(2x-1)e^{2x}}4$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$.
$v=x,v'=1,u'=e^{-x},u=-e^{-x}$.
$\displaystyle\int_0^1xe^{-x}dx = \Big[-xe^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1e^{-x}dx = -e^{-1}+\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -e^{-1}-e^{-1}+1 = 1-2e^{-1}\approx0{,}264$.
Trouver une primitive de $f(x)=x\cos x$.
$v=x,v'=1,u'=\cos x,u=\sin x$.
$\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x-\int\sin x\,dx = x\sin x+\cos x$.
Calculer $\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx$.
$v=x,v'=1,u'=\sin x,u=-\cos x$.
$\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx = (-\pi\times(-1)-0)+\Big[\sin x\Big]_0^\pi = \pi+0=\pi$.
Retrouver la primitive de $\ln x$ par intégration par parties.
$\ln x=1\times\ln x$. $v=\ln x,v'=1/x,u'=1,u=x$.
$\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\times\dfrac1x\,dx = x\ln x-\int1\,dx = x\ln x-x$.
Calculer $\displaystyle\int_1^2 x\ln x\,dx$.
$v=\ln x,v'=1/x,u'=x,u=x^2/2$.
$\displaystyle\int_1^2x\ln x\,dx = \left[\dfrac{x^2}2\ln x\right]_1^2-\int_1^2\dfrac{x^2}2\times\dfrac1x\,dx = (2\ln2-0)-\left[\dfrac{x^2}4\right]_1^2 = 2\ln2-\left(1-\dfrac14\right) = 2\ln2-\dfrac34\approx0{,}636$.
Trouver une primitive de $f(x)=x^2\cos x$.
1ʳᵉ IPP : $v=x^2,v'=2x,u'=\cos x,u=\sin x$. $\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x-\int2x\sin x\,dx$.
2ᵉ IPP sur $\int2x\sin x\,dx$ (exercice 3-like, avec $\sin$ au lieu de $\cos$) : $v=2x,v'=2,u'=\sin x,u=-\cos x$. $\int2x\sin x\,dx = -2x\cos x+2\sin x$.
Résultat final : $\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x-(-2x\cos x+2\sin x)+c = x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+c$.
Trouver une primitive de $f(x)=e^x\cos x$ (méthode « circulaire »).
Notons $I=\int e^x\cos x\,dx$. 1ʳᵉ IPP : $v=\cos x,v'=-\sin x,u'=e^x,u=e^x$. $I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx$.
2ᵉ IPP sur $\int e^x\sin x\,dx$ : $v=\sin x,v'=\cos x,u=e^x$. $\int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x-I$.
En remplaçant : $I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$, soit $2I=e^x(\cos x+\sin x)$.
$I=\dfrac{e^x(\cos x+\sin x)}2+c$ — l'intégrale de départ a réapparu avec un coefficient $-1$, permettant de la « résoudre » algébriquement (cours §6).
Trouver une primitive de $f(x)=\arctan x$.
$v=\arctan x,v'=\dfrac1{1+x^2},u'=1,u=x$.
$\displaystyle\int\arctan x\,dx = x\arctan x-\int\dfrac{x}{1+x^2}dx = x\arctan x-\dfrac12\ln(1+x^2)$ (reconnaissant une forme $u'/u$ pour la dernière intégrale, chapitre précédent).
Calculer $\displaystyle\int_0^1\arctan x\,dx$.
D'après l'exercice 9 : $\displaystyle\int_0^1\arctan x\,dx = \left[x\arctan x-\dfrac12\ln(1+x^2)\right]_0^1 = \left(\dfrac\pi4-\dfrac{\ln2}2\right)-0 = \dfrac\pi4-\dfrac{\ln2}2\approx0{,}439$.
Trouver une primitive de $f(x)=xe^{3x}$.
$v=x,v'=1,u'=e^{3x},u=\dfrac{e^{3x}}3$. $\displaystyle\int xe^{3x}dx = \dfrac{xe^{3x}}3-\dfrac{e^{3x}}9 = \dfrac{(3x-1)e^{3x}}9$.
À l'aide de la formule $\int x^2e^xdx=(x^2-2x+2)e^x+c$ (cours §5), calculer $\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx$.
$\displaystyle\int_0^1x^2e^xdx = \Big[(x^2-2x+2)e^x\Big]_0^1 = (1-2+2)e^1-(0-0+2)e^0 = e-2\approx0{,}718$.
Trouver une primitive de $f(x)=(\ln x)^2$.
$v=(\ln x)^2,v'=\dfrac{2\ln x}x,u'=1,u=x$. $\int(\ln x)^2dx = x(\ln x)^2-\int2\ln x\,dx$.
D'après l'exercice 5, $\int\ln x\,dx=x\ln x-x$. Donc $\int(\ln x)^2dx = x(\ln x)^2-2(x\ln x-x) = x(\ln x)^2-2x\ln x+2x$.
Une force $F(x)=x\,e^{-x/2}$ (N) agit le long d'un déplacement de $x=0$ à $x=2$ m. Poser l'intégrale donnant le travail $W=\int_0^2F(x)\,dx$ et identifier le choix de $u,v$ à utiliser.
$W=\displaystyle\int_0^2xe^{-x/2}dx$. On pose $v=x,v'=1,u'=e^{-x/2},u=-2e^{-x/2}$ (car une primitive de $e^{-x/2}$ est $-2e^{-x/2}$) : exactement la structure de l'exercice 2, à adapter avec ce nouveau coefficient — l'intégration par parties s'applique de façon identique quel que soit le contexte physique.
Vrai ou faux : « dans l'intégration par parties, le choix de $u$ et $v$ n'a aucune importance, le résultat final sera toujours aussi simple à obtenir ».
Faux : un mauvais choix peut compliquer l'intégrale au lieu de la simplifier (par exemple, choisir $v=e^x$ dans $\int xe^x dx$ redonnerait une intégrale $\int\frac{x^2}2e^xdx$ plus compliquée que celle de départ). Le choix de $v$ (cours §2, règle L.I.A.T.E) est essentiel pour que la méthode progresse.
Établir une relation de récurrence entre $I_n=\int x^ne^x\,dx$ et $I_{n-1}$.
$v=x^n,v'=nx^{n-1},u'=e^x,u=e^x$.
$I_n = x^ne^x-n\int x^{n-1}e^x\,dx = x^ne^x-nI_{n-1}$ — une formule qui permet de calculer $\int x^ne^xdx$ pour tout $n$ par applications successives, en partant de $I_0=\int e^xdx=e^x$.
Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$.
$v=\ln x,v'=1/x,u'=x^2,u=x^3/3$.
$\displaystyle\int_1^ex^2\ln x\,dx = \left[\dfrac{x^3}3\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x^3}3\times\dfrac1x\,dx = \dfrac{e^3}3-\left[\dfrac{x^3}9\right]_1^e = \dfrac{e^3}3-\dfrac{e^3-1}9 = \dfrac{2e^3+1}9\approx4{,}575$.
Un étudiant calcule $\int x\ln x\,dx$ en posant $v=x,u'=\ln x$. Pourquoi ce choix rend-il le calcul plus difficile qu'avec le choix inverse ?
Avec ce choix, il faudrait connaître une primitive de $\ln x$ pour $u$ (ce qui nécessite déjà une IPP, exercice 5) avant même de commencer, et $v'=1$ ne simplifie rien : le calcul devient circulaire et inefficace. Le bon choix (cours §2, règle L.I.A.T.E) est $v=\ln x$ (qui se dérive simplement en $1/x$) et $u'=x$ (facile à intégrer), exactement comme dans l'exercice 6.
Vérifier, en dérivant, que $F(x)=x\sin x+\cos x$ (exercice 3) est bien une primitive de $x\cos x$.
$F'(x)=1\times\sin x+x\times\cos x+(-\sin x) = \sin x+x\cos x-\sin x = x\cos x$ ✓ : le résultat est bien confirmé par dérivation directe, une vérification systématique à effectuer après toute IPP.
Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^2\sin x\,dx$ (IPP double, bornes numériques).
1ʳᵉ IPP : $v=x^2,v'=2x,u'=\sin x,u=-\cos x$. $\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x+\int2x\cos x\,dx$.
2ᵉ IPP (exercice 3, adapté) : $\int2x\cos x\,dx = 2x\sin x+2\cos x$.
Primitive complète : $F(x)=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x$.
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}x^2\sin x\,dx = F\left(\dfrac\pi2\right)-F(0) = \left(0+\pi+0\right)-\left(0+0+2\right) = \pi-2\approx1{,}142$.
Exercice A
1. Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$ par intégration par parties.
2. En déduire, par une seconde intégration par parties, la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^2e^{-x}\,dx$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer la formule d'intégration par parties à partir de la dérivée d'un produit.
Une force d'amortissement s'exerce le long d'un déplacement selon $F(x)=50x\,e^{-x/5}$ (en newtons, $x$ en mètres), typique d'un système qui accélère puis ralentit. Le travail total sur $[0,10]$ m est $W=\displaystyle\int_0^{10}F(x)\,dx$.
1. Poser le choix de $u,v$ pour cette intégration par parties.
2. Calculer $W$ (on admettra $e^{-2}\approx0{,}1353$).
3. Le travail serait-il plus grand, plus petit, ou identique si le déplacement s'arrêtait à $x=5$ m plutôt qu'à $x=10$ m ? Justifier sans calcul supplémentaire, à partir de l'allure de $F$.