Calculer un déterminant (Sarrus, cofacteurs), en déduire l'inversibilité, et construire l'inverse — les outils indispensables pour résoudre des systèmes linéaires.
Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ :
$$\det A = ad - bc$$
Géométriquement, $|\det A|$ est l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs colonnes de $A$ ; le signe indique si l'orientation est conservée ($+$) ou inversée ($-$).
Pour $u=(3,1)$ et $v=(1,4)$ (exercice 13), le parallélogramme qu'ils engendrent a une aire de $|\det(u\,v)|=|12-1|=11$.
Pour $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$, la règle de Sarrus donne :
$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$
Cette méthode « diagonale » est spécifique aux matrices $3\times3$. Pour une taille supérieure, on utilise le développement par cofacteurs (§3) ou une réduction par pivot de Gauss (chapitre suivant).
Calculons $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}$.
$\det A = (1\times1\times0)+(2\times4\times5)+(3\times0\times6) - (3\times1\times5)-(1\times4\times6)-(2\times0\times0) = 0+40+0-15-24-0 = 1$.
Pour une matrice $n\times n$, en développant selon la ligne $i$ :
$$\det A = \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\,M_{ij}$$
où $M_{ij}$ est le mineur obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$. En pratique, on choisit la ligne (ou colonne) contenant le plus de zéros, pour minimiser les calculs.
• Échanger deux lignes (ou colonnes) change le signe de $\det A$.
• Multiplier une ligne par $\lambda$ multiplie $\det A$ par $\lambda$.
• $\det(AB)=\det A\times\det B$.
• $A$ est inversible $\iff\det A\neq0$.
• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, $\det A=0$.
La dernière propriété est le lien direct avec le chapitre précédent : $\det A=0$ signifie que les colonnes de $A$ sont liées, donc que $\mathrm{rg}(A)
Pour $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ avec $\det A=ad-bc\neq0$ :
$$A^{-1} = \frac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$
Calculons l'inverse de $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$.
$\det A=3\times4-2\times1=10$.
$A^{-1}=\dfrac1{10}\begin{pmatrix}4&-2\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}4&-0{,}2\\-0{,}1&0{,}3\end{pmatrix}$.
$$A^{-1} = \frac1{\det A}\,\mathrm{com}(A)^T$$
où $\mathrm{com}(A)$ est la matrice des cofacteurs ($\mathrm{com}(A)_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$), et $\mathrm{com}(A)^T$ (sa transposée) est appelée la comatrice transposée ou adjointe classique.
Cette formule est élégante mais coûteuse en calcul pour $n$ grand (il faut $n^2$ mineurs de taille $(n-1)\times(n-1)$) — en pratique, on lui préfère souvent le pivot de Gauss (chapitre suivant) pour inverser une matrice de grande taille.
Quelle que soit la méthode employée, on vérifie toujours le résultat par $AA^{-1}=I$ (matrice identité) — une vérification rapide qui permet de détecter la plupart des erreurs de calcul.
Calculer $\det\begin{pmatrix}5&3\\2&4\end{pmatrix}$.
$\det=5\times4-3\times2=20-6=14$.
Calculer $\det\begin{pmatrix}2&7\\3&1\end{pmatrix}$.
$\det=2\times1-7\times3=2-21=-19$.
Calculer $\det\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&2\\1&4&0\end{pmatrix}$.
$\det=(2\times1\times0)+(0\times2\times1)+(1\times3\times4)-(1\times1\times1)-(2\times2\times4)-(0\times3\times0)$
$=0+0+12-1-16-0=-5$.
Calculer $\det\begin{pmatrix}0&0&0\\1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ sans développer.
$\det=0$ : une ligne nulle rend automatiquement le déterminant nul (développement selon cette ligne, tous les termes s'annulent).
Calculer $\det\begin{pmatrix}1&2&4\\2&4&8\\3&1&5\end{pmatrix}$ en observant une relation entre les colonnes.
La colonne 3 est le double de la colonne 1 : les colonnes sont liées, donc $\det=0$ (cours §4). Inutile de développer explicitement.
Pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$, vérifier que $\det(AB)=\det A\times\det B$.
$\det A=-2$, $\det B=-1$, produit $=2$.
$AB=\begin{pmatrix}2&3\\4&7\end{pmatrix}$, $\det(AB)=14-12=2$ ✓, identique au produit des déterminants.
Sachant que $\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=-2$, donner $\det\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$.
$\det=+2$ : échanger deux lignes change le signe du déterminant (cours §4).
Sachant que $\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=-2$, donner $\det\begin{pmatrix}5&10\\3&4\end{pmatrix}$.
La première ligne a été multipliée par 5 : $\det=5\times(-2)=-10$.
Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}$.
$\det A=6-5=1$.
$A^{-1}=\dfrac11\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$.
Vérifier le résultat de l'exercice 9 en calculant $AA^{-1}$.
$AA^{-1}=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-5&-10+10\\3-3&-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ✓.
Calculer $\det\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&0\\4&0&5\end{pmatrix}$ en développant selon la colonne contenant deux zéros.
Colonne 2 : seul $a_{22}=1$ est non nul. $\det=1\times(-1)^{2+2}\times\det\begin{pmatrix}1&3\\4&5\end{pmatrix}=1\times(5-12)=-7$.
Le développement selon la colonne avec le plus de zéros économise considérablement les calculs.
La matrice $A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
$\det A=4-4=0$ : $A$ n'est pas inversible (cours §4). On observe d'ailleurs que la colonne 2 est le double de la colonne 1.
Calculer l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs $u=(3,1)$ et $v=(1,4)$.
Aire $=\left|\det\begin{pmatrix}3&1\\1&4\end{pmatrix}\right|=|12-1|=11$.
À l'aide de l'inverse trouvé à l'exercice 9, résoudre $\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$.
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21-20\\-7+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$. Solution : $x=1,\,y=1$.
Calculer $\det\begin{pmatrix}2&3&7\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$.
Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit des termes diagonaux : $\det=2\times4\times6=48$ (résultat immédiat, à retrouver aussi par Sarrus ou développement selon la première colonne).
Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$.
$\det A=2(4-1)-1(2-0)+0=6-2=4$.
Après calcul de la comatrice et transposition : $A^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix}$.
Sans calcul, donner $\det\begin{pmatrix}3&0&5\\7&0&2\\1&0&9\end{pmatrix}$.
$\det=0$ : une colonne nulle entraîne automatiquement un déterminant nul (même raisonnement que pour une ligne nulle, exercice 4).
Admettant que $\det(A^T)=\det(A)$ pour toute matrice carrée, expliquer pourquoi les propriétés du déterminant énoncées pour les lignes (cours §4) s'appliquent aussi aux colonnes.
Les lignes de $A^T$ sont exactement les colonnes de $A$. Comme $\det(A^T)=\det(A)$, toute propriété vraie pour les lignes d'une matrice quelconque (échange, facteur, nullité) s'applique donc identiquement à $A^T$, et donc — par cette identité de déterminant — aux colonnes de $A$ elle-même.
Calculer $\det(I_3)$ (matrice identité $3\times3$), puis $\det(3I_3)$.
$\det(I_3)=1$ (matrice diagonale, produit des termes diagonaux tous égaux à 1).
$\det(3I_3)=3^3\times\det(I_3)=27$ (chaque ligne étant multipliée par 3, on applique la propriété trois fois, une par ligne : facteur $3^3$, pas seulement $3$).
Calculer $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&7\\1&1&1\end{pmatrix}$ en combinant une opération élémentaire (soustraction de lignes) avant de développer.
Remplaçons $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ (opération qui ne change pas le déterminant) : nouvelle ligne 2 $=(2-2,4-4,7-6)=(0,0,1)$.
$\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$. En développant selon la ligne 2 (deux zéros) : $\det=1\times(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}=-1\times(1-2)=-1\times(-1)=1$.
Vérification par Sarrus direct sur la matrice d'origine : $\det=(1\times4\times1)+(2\times7\times1)+(3\times2\times1)-(3\times4\times1)-(1\times7\times1)-(2\times2\times1)=4+14+6-12-7-4=1$ ✓.
Exercice A — Soit $A=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&4&1\\2&1&5\end{pmatrix}$.
1. Calculer $\det A$ par la règle de Sarrus.
2. $A$ est-elle inversible ? Justifier.
3. Calculer un coefficient de $A^{-1}$ de votre choix (par exemple le terme en position $(1,1)$), en détaillant la méthode du cofacteur utilisée.
Exercice B — Question de cours
Expliquer pourquoi le développement par cofacteurs selon une ligne (ou colonne) contenant beaucoup de zéros est préférable en pratique.
Un système structurel simple a pour matrice de rigidité $K=\begin{pmatrix}8&-3\\-3&8\end{pmatrix}$ (en kN/mm) reliant les déplacements $u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ aux forces appliquées $F=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$ (kN) par $Ku=F$.
1. Calculer $\det K$ et vérifier que le système admet une solution unique.
2. Calculer $K^{-1}$.
3. En déduire les déplacements $u_1$ et $u_2$ (donner une valeur approchée).
4. Pourquoi les termes hors diagonale de $K$ sont-ils négatifs, physiquement, dans un tel modèle de structure couplée ?