Trouver F telle que F'=f : la table des primitives usuelles et la reconnaissance des formes composées u'f(u), point de départ de tout calcul intégral.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$.
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Si $F_0$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F_0+c$, $c\in\mathbb R$ constante.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc toujours d'une constante — une conséquence directe du fait que si $G'=0$ sur un intervalle, alors $G$ est constante (théorème des accroissements finis).
Les trois courbes sont des primitives de la même fonction $f(x)=2x$ : elles ont, en chaque abscisse $x$, exactement la même tangente (même pente $2x$), et ne diffèrent que par une translation verticale — la constante $c$.
| $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Intervalle |
|---|---|---|
| $x^n$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb R$ (ou $\mathbb R^*$ si $n<0$) |
| $\dfrac1x$ | $\ln|x|$ | $\mathbb R_+^*$ ou $\mathbb R_-^*$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}$ | $\mathbb R$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb R$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb R$ |
| $\dfrac1{1+x^2}$ | $\arctan x$ | $\mathbb R$ |
| $\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ | $]-1,1[$ |
La plupart des primitives « composées » se déduisent de la table précédente en remplaçant $x$ par une fonction $u(x)$, à condition de faire apparaître le facteur $u'$ :
| Forme $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $u'u^n$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{u'}u$ | $\ln|u|$ |
| $u'e^{u}$ | $e^{u}$ |
| $\dfrac{u'}{1+u^2}$ | $\arctan u$ |
Trouvons une primitive de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}$.
On pose $u(x)=x^2+x+3$ ; alors $u'(x)=2x+1$, exactement le numérateur ! On reconnaît la forme $\dfrac{u'}u$, donc une primitive est $F(x)=\ln|x^2+x+3| = \ln(x^2+x+3)$ (le trinôme étant toujours strictement positif, discriminant $1-12<0$).
Trouvons une primitive de $g(x)=x\,e^{x^2}$.
On pose $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$. On a $g(x)=\dfrac12\times(2x)e^{x^2}=\dfrac12u'e^u$. Une primitive de $u'e^u$ est $e^u$, donc une primitive de $g$ est $G(x)=\dfrac12e^{x^2}$.
Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de $f$ et $g$ sur $I$, alors pour tous réels $\alpha,\beta$, $\alpha F+\beta G$ est une primitive de $\alpha f+\beta g$ sur $I$.
Cette propriété permet de calculer la primitive d'une somme terme à terme, et de sortir les constantes multiplicatives — la technique de base pour aborder tout calcul de primitive.
Comme les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante, on détermine la primitive $F$ vérifiant $F(x_0)=y_0$ donné en calculant $c=y_0-F_0(x_0)$, où $F_0$ est une primitive quelconque déjà trouvée.
Déterminons la primitive $F$ de $f(x)=2x$ telle que $F(1)=5$.
Une primitive quelconque est $F_0(x)=x^2$. On cherche $F(x)=x^2+c$ avec $F(1)=1+c=5$, donc $c=4$. La primitive cherchée est $F(x)=x^2+4$.
Trouver une primitive de $f(x)=x^4$.
$F(x)=\dfrac{x^5}5$.
Trouver une primitive de $f(x)=3x^2-2x+5$.
Par linéarité, terme à terme : $F(x)=x^3-x^2+5x$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{x^3}$ sur $]0,+\infty[$.
$f(x)=x^{-3}$, donc $F(x)=\dfrac{x^{-2}}{-2}=-\dfrac1{2x^2}$.
Trouver une primitive de $f(x)=e^{3x}$.
$F(x)=\dfrac{e^{3x}}3$.
Trouver une primitive de $f(x)=\sin(2x)$.
$F(x)=-\dfrac{\cos(2x)}2$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{x^2+4}$.
On factorise : $\dfrac1{x^2+4}=\dfrac14\times\dfrac1{1+(x/2)^2}$. En posant $u=x/2$, $u'=1/2$, on ajuste :
$F(x)=\dfrac12\arctan\left(\dfrac x2\right)$ (on vérifie par dérivation : $F'(x)=\dfrac12\times\dfrac{1/2}{1+(x/2)^2}=\dfrac1{4+x^2}$ ✓).
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}$.
$u(x)=x^3+1$, $u'(x)=3x^2$ : exactement le numérateur. $F(x)=\ln|x^3+1|$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
$u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$. $f(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac12\dfrac{u'}u$. $F(x)=\dfrac12\ln(x^2+1)$.
Trouver une primitive de $f(x)=x^2e^{x^3}$.
$u(x)=x^3$, $u'(x)=3x^2$. $f(x)=\dfrac13(3x^2)e^{x^3}=\dfrac13u'e^u$. $F(x)=\dfrac13e^{x^3}$.
Trouver une primitive de $f(x)=\cos(x)\sin^4(x)$.
$u(x)=\sin x$, $u'(x)=\cos x$. $f(x)=u'u^4$. $F(x)=\dfrac{\sin^5x}5$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{\sqrt x}$ sur $]0,+\infty[$.
$f(x)=x^{-1/2}$, donc $F(x)=\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt x$.
Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=4x^3$ vérifiant $F(0)=3$.
Primitive générale : $F(x)=x^4+c$. $F(0)=0+c=3\Rightarrow c=3$. $F(x)=x^4+3$.
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+7}$.
$u(x)=x^2-3x+7$, $u'(x)=2x-3$ : le numérateur est exactement $u'$. $F(x)=\ln(x^2-3x+7)$ (le trinôme, de discriminant $9-28<0$, est toujours positif).
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$.
$u(x)=e^x+1$, $u'(x)=e^x$ : le numérateur. $F(x)=\ln(e^x+1)$ (toujours positif).
Trouver une primitive de $f(x)=\dfrac1{2x+5}$ (préciser le domaine).
Sur $\left]-\dfrac52,+\infty\right[$ : $F(x)=\dfrac12\ln(2x+5)$ (car $u=2x+5>0$ sur ce domaine, $u'=2$).
Un mobile a pour vitesse $v(t)=3t^2-2t$ (m/s) et se trouve en $x(0)=1$ m. Déterminer sa position $x(t)$.
La position est une primitive de la vitesse : $x(t)=t^3-t^2+c$.
$x(0)=0-0+c=1\Rightarrow c=1$. $x(t)=t^3-t^2+1$.
Trouver une primitive de $f(x)=\cos(3x-1)$.
$u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$. $f(x)=\dfrac13\times3\cos(3x-1)$. $F(x)=\dfrac{\sin(3x-1)}3$.
Démontrer que si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$, alors $2F-3G$ est une primitive de $2f-3g$.
$(2F-3G)'=2F'-3G'=2f-3g$ (par linéarité de la dérivation) : $2F-3G$ a bien pour dérivée $2f-3g$, c'est donc une primitive de $2f-3g$ par définition.
Trouver une primitive de $f(x)=x^3-\dfrac1{x^2}$ sur $]0,+\infty[$.
Par linéarité : $F(x)=\dfrac{x^4}4-\left(-\dfrac1x\right)=\dfrac{x^4}4+\dfrac1x$ (car une primitive de $-x^{-2}$ est $x^{-1}=1/x$).
Déterminer la primitive $F$ de $f(x)=\dfrac{6x+2}{3x^2+2x+1}$ vérifiant $F(1)=0$.
$u(x)=3x^2+2x+1$, $u'(x)=6x+2$ : le numérateur. Primitive générale : $F(x)=\ln(3x^2+2x+1)+c$ (le trinôme est toujours positif, discriminant $4-12<0$).
$F(1)=\ln(3+2+1)+c=\ln6+c=0\Rightarrow c=-\ln6$. $F(x)=\ln(3x^2+2x+1)-\ln6=\ln\left(\dfrac{3x^2+2x+1}6\right)$.
Exercice A — Soit $f(x)=\dfrac{4x-6}{2x^2-6x+9}$.
1. Vérifier que $2x^2-6x+9$ ne s'annule jamais sur $\mathbb R$.
2. Trouver une primitive $F_0$ de $f$ sur $\mathbb R$.
3. Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(0)=2$.
Exercice B — Question de cours
Démontrer que toute fonction $u'e^u$ (avec $u$ dérivable) admet $e^u$ comme primitive, en utilisant la formule de dérivation d'une composée.
Le courant traversant un condensateur lors de sa charge est $i(t)=5e^{-2t}$ (en ampères, $t$ en secondes). La charge $q(t)$ accumulée vérifie $q'(t)=i(t)$, avec $q(0)=0$ (condensateur initialement déchargé).
1. Déterminer $q(t)$ pour tout $t\ge0$.
2. Calculer la charge accumulée après $1$ seconde.
3. Quelle est la charge maximale atteinte lorsque $t\to+\infty$ ?
4. Pourquoi la fonction $q(t)$ est-elle croissante, et pourquoi sa croissance ralentit-elle avec le temps ?