L'opération fondamentale du traitement du signal : (f*g)(t)=∫f(τ)g(t-τ)dτ modélise la réponse d'un système linéaire, du filtre RC au lissage d'un signal.
Le produit de convolution de deux fonctions $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ (sous des conditions d'intégrabilité adaptées) est la fonction $f*g$ définie par :
$$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$$
Intuitivement, $(f*g)(t)$ mesure le « chevauchement » entre $f$ et une version de $g$ retournée puis translatée de $t$. C'est l'opération fondamentale du traitement du signal : elle modélise l'effet d'un système linéaire (filtre) sur un signal d'entrée.
La convolution est commutative ($f*g=g*f$), associative ($(f*g)*h=f*(g*h)$), et distributive par rapport à l'addition ($f*(g+h)=f*g+f*h$). Elle admet un élément neutre — l'impulsion de Dirac $\delta$ — au sens où $f*\delta=f$ (notion admise, formalisée en théorie des distributions).
Commutativité : en posant $u=t-\tau$ (donc $\tau=t-u$, $d\tau=-du$) dans l'intégrale définissant $f*g$, on obtient directement $g*f$ — la substitution renverse simplement les rôles de $f$ et $g$.
En pratique (signaux physiques), on travaille souvent avec des fonctions causales : $f(t)=g(t)=0$ pour $t<0$. La convolution se simplifie alors, car $f(\tau)=0$ pour $\tau<0$ et $g(t-\tau)=0$ pour $\tau>t$ :
$$(f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau \qquad (t\ge0)$$
Les bornes deviennent finies : c'est la forme la plus fréquemment utilisée en pratique (systèmes causaux : la sortie ne peut dépendre que du passé).
$(f*f)(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)f(t-\tau)\,d\tau$. Le produit $f(\tau)f(t-\tau)$ vaut $1$ si $\tau\in[0,1]$ et $t-\tau\in[0,1]$ (soit $\tau\in[t-1,t]$), et $0$ sinon.
On calcule la longueur de l'intersection $[0,1]\cap[t-1,t]$ selon la position de $t$ :
$$(f*f)(t) = \begin{cases} 0 & t<0 \\ t & 0\le t\le1 \\ 2-t & 1\le t\le2 \\ 0 & t>2 \end{cases}$$
La convolution de deux créneaux identiques donne un triangle : un résultat classique qui illustre l'effet « lissant » de la convolution — une fonction discontinue (créneau) convoluée avec elle-même devient continue.
Fonction causale : $(f*f)(t)=\displaystyle\int_0^te^{-\tau}e^{-(t-\tau)}\,d\tau$ pour $t\ge0$.
$(f*f)(t)=e^{-t}\displaystyle\int_0^t1\,d\tau=t\,e^{-t}$ (le terme $e^{-\tau}e^{-(t-\tau)}=e^{-t}$ ne dépend pas de $\tau$, il sort de l'intégrale).
En traitement du signal et en automatique, si $h(t)$ est la réponse impulsionnelle d'un système linéaire invariant dans le temps, alors la sortie $y(t)$ correspondant à une entrée $x(t)$ est exactement leur produit de convolution :
$$y(t) = (x*h)(t) = \int_0^tx(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau$$
C'est l'un des résultats les plus importants du traitement du signal linéaire : connaître $h$ suffit à prédire la réponse du système à n'importe quelle entrée $x$, via une simple convolution.
Démontrer que $f*g=g*f$, en posant $u=t-\tau$ dans l'intégrale.
$(f*g)(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$. Posons $u=t-\tau$, donc $\tau=t-u$, $d\tau=-du$. Quand $\tau\to-\infty$, $u\to+\infty$ ; quand $\tau\to+\infty$, $u\to-\infty$.
$(f*g)(t)=\displaystyle\int_{+\infty}^{-\infty}f(t-u)g(u)(-du)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(u)f(t-u)\,du=(g*f)(t)$.
Calculer $(f*g)(t)$ pour $f(t)=e^{-t}$ et $g(t)=e^{-2t}$ (toutes deux nulles pour $t<0$).
$(f*g)(t)=\displaystyle\int_0^te^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=e^{-2t}\int_0^te^{\tau}\,d\tau=e^{-2t}\Big[e^\tau\Big]_0^t=e^{-2t}(e^t-1)$.
$(f*g)(t)=e^{-t}-e^{-2t}$ (pour $t\ge0$).
Calculer $(u*f)(t)$ où $u(t)=1$ pour $t\ge0$ (échelon unité) et $f(t)=e^{-t}$ pour $t\ge0$.
$(u*f)(t)=\displaystyle\int_0^t1\times e^{-(t-\tau)}\,d\tau=e^{-t}\int_0^te^\tau\,d\tau=e^{-t}(e^t-1)$.
$(u*f)(t)=1-e^{-t}$.
Sachant que $f*\delta=f$ (impulsion de Dirac $\delta$), que vaut $(f*\delta)(3)$ pour $f(t)=t^2+1$ ?
$(f*\delta)(3)=f(3)=9+1=10$ (propriété d'élément neutre, cours §2).
Décrire l'allure de $(f*g)(t)$ pour $f=\mathbb1_{[0,1]}$ et $g=\mathbb1_{[0,2]}$, sans calcul détaillé.
Le résultat est un trapèze : montée linéaire de $t=0$ à $t=1$ (largeur du créneau le plus étroit), plateau constant de $t=1$ à $t=2$ (durant lequel le créneau étroit est entièrement contenu dans le large), puis descente linéaire de $t=2$ à $t=3$. La longueur du support total est $1+2=3$ (somme des largeurs des deux créneaux), une propriété générale de la convolution de fonctions à support compact.
À l'aide de la formule du cours §4 (triangle), calculer $(f*f)(0{,}7)$ et $(f*f)(1{,}3)$ pour $f=\mathbb1_{[0,1]}$.
$(f*f)(0{,}7)=0{,}7$ (car $0\le0{,}7\le1$). $(f*f)(1{,}3)=2-1{,}3=0{,}7$ (car $1\le1{,}3\le2$) — les deux valeurs sont égales, cohérent avec la symétrie du triangle autour de $t=1$.
Expliquer pourquoi $(f*g)*h=f*(g*h)$ découle du théorème de Fubini (interversion de l'ordre d'intégration).
$((f*g)*h)(t)=\displaystyle\iint f(\sigma)g(\tau-\sigma)h(t-\tau)\,d\sigma\,d\tau$ (double intégrale, après avoir développé $(f*g)$ à l'intérieur). En intervertissant l'ordre d'intégration (Fubini, sous des hypothèses d'intégrabilité adaptées) et en effectuant un changement de variable analogue à celui de l'exercice 1, on retrouve exactement $\displaystyle\iint f(\sigma)g(u)h(t-\sigma-u)\,d\sigma\,du=(f*(g*h))(t)$ — les deux expressions coïncident.
Démontrer que $f*(g+h)=f*g+f*h$.
$(f*(g+h))(t)=\displaystyle\int f(\tau)\big(g(t-\tau)+h(t-\tau)\big)\,d\tau=\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau+\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\tau=(f*g)(t)+(f*h)(t)$, par simple linéarité de l'intégrale.
Un circuit RC a pour réponse impulsionnelle $h(t)=\dfrac1{RC}e^{-t/RC}$ ($t\ge0$). On applique un échelon de tension $x(t)=E$ (constant, $t\ge0$). Calculer la tension de sortie $y(t)=(x*h)(t)$.
$y(t)=\displaystyle\int_0^tE\times\dfrac1{RC}e^{-(t-\tau)/RC}\,d\tau=\dfrac E{RC}e^{-t/RC}\int_0^te^{\tau/RC}\,d\tau=\dfrac E{RC}e^{-t/RC}\times RC\left(e^{t/RC}-1\right)$.
$y(t)=E\left(1-e^{-t/RC}\right)$ — la charge classique d'un condensateur à travers une résistance, retrouvée exactement par convolution (cohérent avec la loi de charge exponentielle vue au chapitre « Fonction exponentielle »).
Calculer $(f*g)(t)$ pour $f(t)=t$ (rampe, $t\ge0$) et $g(t)=1$ (échelon, $t\ge0$).
$(f*g)(t)=\displaystyle\int_0^t\tau\times1\,d\tau=\left[\dfrac{\tau^2}2\right]_0^t=\dfrac{t^2}2$.
Le créneau $\mathbb1_{[0,1]}$ est discontinu, mais sa convolution avec elle-même (le triangle, cours §4) est continue. Que peut-on conjecturer sur la régularité de $f*f*f$ (triple convolution) ?
On peut s'attendre à ce que $f*f*f$ soit encore plus régulière : chaque convolution supplémentaire « lisse » davantage la fonction (le triangle, dérivable par morceaux mais avec des points anguleux, deviendrait — par convolution supplémentaire avec le créneau — une fonction $C^1$, dérivable partout). C'est un principe général : convoluer avec une fonction régulière améliore toujours la régularité, une propriété exploitée en analyse pour « régulariser » des fonctions peu régulières.
Sachant que $f*\delta_a=f(\cdot-a)$ (translation de $f$ de $a$), où $\delta_a$ est l'impulsion en $t=a$, calculer $(f*\delta_3)(5)$ pour $f(t)=t^2$.
$(f*\delta_3)(5)=f(5-3)=f(2)=4$.
À l'aide du résultat $(f*f)(t)=te^{-t}$ pour $f(t)=e^{-t}$ (cours §5), calculer $(f*f)(2)$.
$(f*f)(2)=2e^{-2}\approx0{,}271$.
Un filtre à moyenne glissante de largeur $T$ a pour réponse impulsionnelle $h(t)=\dfrac1T$ sur $[0,T]$ (et $0$ ailleurs). Que représente $(x*h)(t)$ pour un signal $x(t)$ quelconque ?
$(x*h)(t)=\displaystyle\int_{t-T}^tx(\tau)\times\dfrac1T\,d\tau$ : c'est exactement la valeur moyenne de $x$ sur la fenêtre glissante $[t-T,t]$ (chapitre « Valeur moyenne d'une fonction ») — le filtre à moyenne glissante, très utilisé pour lisser un signal bruité, est donc une simple convolution avec un créneau normalisé.
Si $f$ est nulle en dehors de $[0,a]$ et $g$ nulle en dehors de $[0,b]$, sur quel intervalle $f*g$ peut-elle être non nulle ?
$f*g$ est nulle en dehors de $[0,a+b]$ : le support de la convolution est (au plus) la somme des supports — une propriété déjà observée dans l'exercice 5 (créneaux de largeurs $1$ et $2$ donnant un support de largeur $3$).
Généraliser l'exercice 2 : calculer $(f*g)(t)$ pour $f(t)=e^{-at}$ et $g(t)=e^{-bt}$ ($a\neq b$, $t\ge0$).
$(f*g)(t)=\displaystyle\int_0^te^{-a\tau}e^{-b(t-\tau)}\,d\tau=e^{-bt}\int_0^te^{(b-a)\tau}\,d\tau=e^{-bt}\times\dfrac{e^{(b-a)t}-1}{b-a}$.
$(f*g)(t)=\dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}$ (formule qui redonne exactement l'exercice 2 pour $a=1,b=2$ : $\dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}{2-1}=e^{-t}-e^{-2t}$ ✓).
Montrer que $(\lambda f)*g=\lambda(f*g)$ pour tout réel $\lambda$.
$((\lambda f)*g)(t)=\displaystyle\int\lambda f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=\lambda\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=\lambda(f*g)(t)$, par linéarité de l'intégrale (sortie du facteur constant $\lambda$).
Vrai ou faux : « $(f*g)(t)=f(t)\times g(t)$ pour toutes fonctions $f,g$ ».
Faux : la convolution n'est pas le produit ponctuel. $(f*g)(t)$ implique une intégrale sur toute la variable $\tau$, mélangeant les valeurs de $f$ et $g$ en des points différents — c'est une opération fondamentalement différente du simple produit $f(t)g(t)$, même si les deux notations utilisent parfois un symbole voisin.
Calculer $(f*\mathbb1_{[0,1]})(2)$ pour $f(t)=t$ (rampe, $t\ge0$).
$(f*\mathbb1_{[0,1]})(2)=\displaystyle\int_0^2f(\tau)\mathbb1_{[0,1]}(2-\tau)\,d\tau$. Le créneau $\mathbb1_{[0,1]}(2-\tau)$ vaut $1$ quand $0\le2-\tau\le1$, soit $\tau\in[1,2]$.
$(f*\mathbb1_{[0,1]})(2)=\displaystyle\int_1^2\tau\,d\tau=\left[\dfrac{\tau^2}2\right]_1^2=2-0{,}5=1{,}5$.
Un système a pour réponse impulsionnelle $h(t)=e^{-2t}$ ($t\ge0$). L'entrée est un échelon retardé : $x(t)=0$ pour $t<1$, $x(t)=3$ pour $t\ge1$. Calculer la sortie $y(t)=(x*h)(t)$ pour $t\ge1$.
$y(t)=\displaystyle\int_1^t3\,e^{-2(t-\tau)}\,d\tau$ (les bornes commencent à $1$ car $x(\tau)=0$ pour $\tau<1$).
$=3e^{-2t}\displaystyle\int_1^te^{2\tau}\,d\tau=3e^{-2t}\times\dfrac12\Big[e^{2\tau}\Big]_1^t=\dfrac32e^{-2t}(e^{2t}-e^2)$.
$y(t)=\dfrac32\left(1-e^{-2(t-1)}\right)$ pour $t\ge1$ — on retrouve la structure de l'exercice 9 (charge exponentielle), mais décalée dans le temps du retard $t-1$ imposé par l'échelon retardé, cohérent avec la propriété générale de la convolution vis-à-vis des translations.
Exercice A — Soient $f(t)=e^{-3t}$ et $g(t)=e^{-t}$ (fonctions causales, nulles pour $t<0$).
1. Calculer $(f*g)(t)$ pour $t\ge0$.
2. Calculer $(f*g)(1)$ (valeur numérique).
3. Vérifier votre résultat en utilisant la formule générale $\dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}$ (cours, exercice 16).
Exercice B — Question de cours
Démontrer la propriété de distributivité $f*(g+h)=f*g+f*h$.
Un filtre RC a pour réponse impulsionnelle $h(t)=4e^{-4t}$ ($t\ge0$, correspondant à $\dfrac1{RC}=4$). On applique en entrée un échelon de tension $x(t)=2$ V (constant pour $t\ge0$).
1. Calculer la tension de sortie $y(t)=(x*h)(t)$.
2. Calculer $y(0{,}5)$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
3. Calculer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}y(t)$, et interpréter physiquement cette limite.
4. Le « temps caractéristique » de ce filtre est $\tau_0=\dfrac1{RC}=0{,}25$ s. Comparer $y(\tau_0)$ à la valeur finale trouvée en (3) : quelle proportion de la valeur finale est déjà atteinte après un temps caractéristique ?