Résoudre Ax=b via des rapports de déterminants : une formule explicite et élégante, à réserver aux petits systèmes en pratique.
Un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues s'écrit sous forme matricielle $Ax=b$, où $A$ est la matrice ($n\times n$) des coefficients, $x$ le vecteur des inconnues, et $b$ le second membre. Ce chapitre traite le cas où $A$ est carrée et inversible ($\det A\neq0$), qui garantit l'existence et l'unicité de la solution.
Si $\det A\neq0$, le système $Ax=b$ admet une unique solution, donnée pour chaque composante $x_i$ par :
$$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$
où $A_i$ est la matrice $A$ dans laquelle la $i$-ème colonne a été remplacée par le second membre $b$.
C'est une conséquence directe de $x=A^{-1}b$ (chapitre précédent) combinée à la formule de l'inverse par cofacteurs — mais la règle de Cramer permet de calculer chaque inconnue indépendamment, sans calculer l'inverse complet.
$A=\begin{pmatrix}2&3\\1&-1\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix}8\\-1\end{pmatrix}$. $\det A=-2-3=-5$.
$A_1$ (colonne 1 remplacée par $b$) $=\begin{pmatrix}8&3\\-1&-1\end{pmatrix}$, $\det A_1=-8+3=-5$.
$A_2$ (colonne 2 remplacée par $b$) $=\begin{pmatrix}2&8\\1&-1\end{pmatrix}$, $\det A_2=-2-8=-10$.
$x=\dfrac{\det A_1}{\det A}=\dfrac{-5}{-5}=1$, $y=\dfrac{\det A_2}{\det A}=\dfrac{-10}{-5}=2$.
Géométriquement, résoudre un système 2×2 revient à trouver le point d'intersection des deux droites qu'il définit — ici, le point $(1,2)$, exactement la solution trouvée par la méthode de Cramer.
$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{pmatrix}$, $b=(6,3,2)^T$. $\det A=7$ (par Sarrus, à vérifier).
$\det A_1=7$ (colonne 1 remplacée par $b$), $\det A_2=14$, $\det A_3=21$.
$x=\dfrac77=1$, $y=\dfrac{14}7=2$, $z=\dfrac{21}7=3$.
Si $\det A=0$, la règle de Cramer ne donne aucune information directe (division par zéro) : le système peut alors n'admettre aucune solution, ou une infinité, selon la compatibilité du second membre avec la structure de $A$. Il faut alors utiliser le pivot de Gauss (chapitre suivant) pour trancher entre ces deux cas.
La règle de Cramer nécessite de calculer $n+1$ déterminants de taille $n\times n$ (celui de $A$, plus un par inconnue). Pour $n$ grand, ce coût devient prohibitif comparé au pivot de Gauss (chapitre suivant), bien plus efficace en pratique. Cramer reste néanmoins précieux pour :
Résoudre $\begin{cases}3x+2y=7\\x-y=-1\end{cases}$ par la méthode de Cramer.
$\det A=\det\begin{pmatrix}3&2\\1&-1\end{pmatrix}=-3-2=-5$.
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}7&2\\-1&-1\end{pmatrix}=-7+2=-5$. $\det A_2=\det\begin{pmatrix}3&7\\1&-1\end{pmatrix}=-3-7=-10$.
$x=\dfrac{-5}{-5}=1$, $y=\dfrac{-10}{-5}=2$.
Vérifier la solution de l'exercice 1 par substitution directe.
$3(1)+2(2)=3+4=7$ ✓. $1-2=-1$ ✓. La solution $(1,2)$ est confirmée.
Résoudre $\begin{cases}5x-2y=19\\3x+4y=1\end{cases}$.
$\det A=20-(-6)=26$.
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}19&-2\\1&4\end{pmatrix}=76+2=78$. $\det A_2=\det\begin{pmatrix}5&19\\3&1\end{pmatrix}=5-57=-52$.
$x=\dfrac{78}{26}=3$, $y=\dfrac{-52}{26}=-2$.
Écrire la formule de Cramer générale pour $\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}$ (avec $ad-bc\neq0$).
$x=\dfrac{ed-bf}{ad-bc}$, $y=\dfrac{af-ec}{ad-bc}$ — une formule qu'il est utile de connaître pour les systèmes 2×2, bien qu'il soit toujours possible de la retrouver en appliquant directement la méthode.
Étudier $\begin{cases}2x+4y=6\\x+2y=3\end{cases}$. La règle de Cramer s'applique-t-elle ?
$\det A=\det\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}=4-4=0$ : Cramer ne s'applique pas.
En observant que la première équation est le double de la seconde, le système admet en réalité une infinité de solutions (une seule équation indépendante, deux inconnues) — cas à traiter par le pivot de Gauss (chapitre suivant).
Étudier $\begin{cases}2x+4y=6\\x+2y=1\end{cases}$. Comparer à l'exercice 5.
$\det A=0$ également (même matrice de coefficients qu'à l'exercice 5). Mais ici, la première équation impose $x+2y=3$ (en divisant par 2), incompatible avec la seconde équation $x+2y=1$ : le système n'a aucune solution. Ce contraste avec l'exercice 5 illustre que $\det A=0$ seul ne suffit pas à trancher entre « aucune solution » et « une infinité » — il faut examiner la compatibilité du second membre.
Résoudre $\begin{cases}x+2y=4\\3x-y=5\end{cases}$.
$\det A=-1-6=-7$.
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}=-4-10=-14$. $\det A_2=\det\begin{pmatrix}1&4\\3&5\end{pmatrix}=5-12=-7$.
$x=\dfrac{-14}{-7}=2$, $y=\dfrac{-7}{-7}=1$.
Résoudre $\begin{cases}3x=6\\5y=15\end{cases}$ par Cramer, et vérifier que le résultat est immédiat.
$\det A=\det\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}=15$. $\det A_1=\det\begin{pmatrix}6&0\\15&5\end{pmatrix}=30$, $\det A_2=\det\begin{pmatrix}3&6\\0&15\end{pmatrix}=45$. $x=30/15=2$, $y=45/15=3$ — cohérent avec la résolution immédiate ($x=6/3=2$, $y=15/5=3$), la méthode de Cramer étant ici superflue mais toujours valide.
Résoudre $\begin{cases}2x+y-z=3\\x+3y+2z=9\\-x+y+4z=5\end{cases}$.
$\det A=10$ (par Sarrus, à vérifier).
$\det A_1=10$, $\det A_2=20$, $\det A_3=10$.
$x=\dfrac{10}{10}=1$, $y=\dfrac{20}{10}=2$, $z=\dfrac{10}{10}=1$.
Vérifier la solution $(1,2,1)$ de l'exercice 9 par substitution dans la troisième équation.
$-1+2+4(1)=-1+2+4=5$ ✓, conforme au second membre de la troisième équation.
Un circuit électrique à deux mailles conduit au système $\begin{cases}10I_1-4I_2=16\\-4I_1+9I_2=1\end{cases}$ (en ampères). Calculer $I_1$ et $I_2$.
$\det A=90-16=74$.
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}16&-4\\1&9\end{pmatrix}=144+4=148$. $\det A_2=\det\begin{pmatrix}10&16\\-4&1\end{pmatrix}=10+64=74$.
$I_1=\dfrac{148}{74}=2$ A, $I_2=\dfrac{74}{74}=1$ A.
Pour le système de l'exercice 11, si seul $I_2$ intéresse l'ingénieur, quel calcul peut-il éviter ?
Il n'a pas besoin de calculer $\det A_1$ : la règle de Cramer permet de calculer $I_2=\det A_2/\det A$ directement, sans passer par $I_1$ ni par l'inverse complet de $A$ — un avantage pratique de la méthode quand une seule inconnue est recherchée.
Pour $\begin{cases}x+ay=2\\ax+y=3\end{cases}$ (paramètre $a$), donner $\det A$ en fonction de $a$, et préciser pour quelles valeurs de $a$ Cramer ne s'applique pas.
$\det A=1-a^2=(1-a)(1+a)$.
Cramer ne s'applique pas pour $a=1$ ou $a=-1$ (déterminant nul) — pour toute autre valeur de $a$, le système admet une solution unique, calculable par la formule de Cramer paramétrée en $a$.
Pour le système de l'exercice 13, donner $x$ en fonction de $a$ (pour $a\neq\pm1$).
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}2&a\\3&1\end{pmatrix}=2-3a$.
$x=\dfrac{2-3a}{1-a^2}$ — une formule explicite montrant comment la solution varie continûment avec le paramètre $a$, tant que $a\neq\pm1$.
Que donne la méthode de Cramer pour $\begin{cases}3x+2y=0\\x-y=0\end{cases}$, sachant que $\det A\neq0$ ?
Comme $b=(0,0)^T$, chaque $A_i$ (colonne $i$ remplacée par $b$) contient une colonne nulle, donc $\det A_i=0$ pour tout $i$ (cours précédent : colonne nulle ⟹ déterminant nul). Donc $x=y=0$ : l'unique solution d'un système homogène ($b=0$) avec $\det A\neq0$ est toujours la solution triviale.
Relier le résultat de l'exercice 15 au chapitre « Applications linéaires et matrices » (noyau).
Un système homogène $Ax=0$ revient exactement à chercher $\ker A$. Si $\det A\neq0$, $A$ est inversible, donc l'application associée est injective (chapitre précédent), ce qui signifie $\ker A=\{0\}$ : la seule solution de $Ax=0$ est $x=0$ — exactement ce que confirme la règle de Cramer dans l'exercice 15.
Résoudre $\begin{cases}x+2y+z=7\\y+3z=8\\2x+y=4\end{cases}$.
$\det A=7$ (à vérifier par Sarrus).
$\det A_1=7$, $\det A_2=14$, $\det A_3=14$.
$x=\dfrac77=1$, $y=\dfrac{14}7=2$, $z=\dfrac{14}7=2$.
Le système $\begin{cases}4x+y=9\\2x+3y=7\end{cases}$ peut être résolu soit par Cramer, soit via $A^{-1}b$. Résoudre par Cramer et commenter l'équivalence des deux approches.
$\det A=12-2=10$. $\det A_1=\det\begin{pmatrix}9&1\\7&3\end{pmatrix}=27-7=20$. $\det A_2=\det\begin{pmatrix}4&9\\2&7\end{pmatrix}=28-18=10$.
$x=\dfrac{20}{10}=2$, $y=\dfrac{10}{10}=1$. Les deux méthodes (Cramer et $x=A^{-1}b$) donnent toujours le même résultat, car elles reposent sur la même formule mathématique — Cramer est simplement une façon plus directe d'extraire chaque composante sans construire $A^{-1}$ en entier.
Résoudre $\begin{cases}4x+y=9\\2x+3y=7\end{cases}$ (même système qu'à l'exercice 18) en repartant de zéro, pour s'entraîner.
On retrouve exactement le même calcul et le même résultat qu'à l'exercice 18 : $x=2,\,y=1$ — répéter le calcul est une bonne façon de vérifier sa maîtrise de la méthode.
Résoudre $\begin{cases}x-y+2z=7\\2x+y-z=2\\x+2y+3z=13\end{cases}$, en détaillant le calcul de chaque déterminant.
$\det A=\det\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&1&-1\\1&2&3\end{pmatrix}$. Par Sarrus : $(1\times1\times3)+(-1\times-1\times1)+(2\times2\times2)-(2\times1\times1)-(1\times-1\times2)-(-1\times2\times3)=3+1+8-2+2+6=18$.
$\det A_1=\det\begin{pmatrix}7&-1&2\\2&1&-1\\13&2&3\end{pmatrix}=36$. $\det A_2=18$. $\det A_3=54$.
$x=\dfrac{36}{18}=2$, $y=\dfrac{18}{18}=1$, $z=\dfrac{54}{18}=3$.
Exercice A — Résoudre par la méthode de Cramer :
$$\begin{cases}2x+y+z=5\\x+3y+2z=8\\x+4z=9\end{cases}$$
1. Calculer $\det A$.
2. Calculer $\det A_1,\,\det A_2,\,\det A_3$.
3. En déduire $x,y,z$.
Exercice B — Question de cours
Un système $3\times3$ a un déterminant $\det A=0{,}001$ (très petit mais non nul). La méthode de Cramer s'applique-t-elle théoriquement ? Quel problème pratique peut néanmoins se poser lors du calcul numérique ?
Un réseau électrique à trois mailles, analysé par la loi des mailles de Kirchhoff, conduit au système suivant (courants en ampères) :
$$\begin{cases}12I_1-5I_2=26\\-5I_1+14I_2-6I_3=7\\-6I_2+10I_3=-2\end{cases}$$
1. Écrire la matrice $A$ et calculer $\det A$.
2. Calculer $\det A_1,\,\det A_2,\,\det A_3$ (on admettra les valeurs si le calcul est trop long, mais la méthode doit être posée).
3. En déduire $I_1,\,I_2,\,I_3$.
4. Pourquoi, dans ce type de problème, préfère-t-on souvent une méthode numérique (pivot de Gauss) à la méthode de Cramer pour des réseaux plus grands (dizaines de mailles) ?