Éliminer progressivement pour obtenir une forme triangulaire, puis remonter : la méthode générale et efficace, utilisée par tous les logiciels de calcul scientifique.
Le pivot de Gauss transforme un système $Ax=b$ en un système triangulaire équivalent, par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui ne changent pas l'ensemble des solutions. Une fois le système triangulaire obtenu, la résolution se fait par remontée (substitution successive, de la dernière équation vers la première).
• Échanger deux lignes.
• Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
• Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.
On travaille directement sur la matrice augmentée $[A\,|\,b]$ (la matrice $A$ à laquelle on adjoint la colonne $b$), pour appliquer les mêmes opérations aux deux membres simultanément.
L'élimination progressive fait apparaître des zéros sous la diagonale, colonne après colonne — une fois cette forme obtenue, la remontée donne directement chaque inconnue.
Pour chaque colonne $k=1,\dots,n-1$ : on utilise le terme diagonal $a_{kk}$ (le pivot, supposé non nul — sinon on échange les lignes) pour annuler tous les termes en dessous de lui dans la même colonne, en remplaçant chaque ligne $i>k$ par $L_i \leftarrow L_i - \dfrac{a_{ik}}{a_{kk}}L_k$.
Après ce processus, la matrice est sous forme triangulaire supérieure : toutes les entrées strictement en dessous de la diagonale sont nulles.
Matrice augmentée initiale :
$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&2\\2&1&1&7\\3&-1&2&9\end{array}\right]$$
Étape 1 — Éliminer la colonne 1 sous le pivot $a_{11}=1$ : $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ :
$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&2\\0&-3&3&3\\0&-7&5&3\end{array}\right]$$
Étape 2 — Éliminer la colonne 2 sous le pivot $a_{22}=-3$ : $L_3\leftarrow L_3-\dfrac73L_2$ :
$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&2\\0&-3&3&3\\0&0&-2&-4\end{array}\right]$$
Remontée : $-2z=-4\Rightarrow z=2$. $-3y+3(2)=3\Rightarrow y=1$. $x+2(1)-2=2\Rightarrow x=2$.
Solution : $(x,y,z)=(2,1,2)$.
• Si chaque ligne possède un pivot non nul (matrice triangulaire sans zéro diagonal) : solution unique.
• Si une ligne devient $[0\ 0\ \cdots\ 0\,|\,c]$ avec $c\neq0$ : équation impossible, aucune solution.
• Si une ligne devient $[0\ 0\ \cdots\ 0\,|\,0]$ (entièrement nulle) : équation redondante, infinité de solutions (paramétrées par les inconnues « libres »).
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $[0\ 0\ 0\,|\,0]$ (la ligne 2 était déjà le double de la ligne 1) : équation redondante.
Il reste 2 équations indépendantes pour 3 inconnues : une infinité de solutions, paramétrée par exemple par $z=t$.
De $x-y=0$, $x=y$ ; de $x+y+z=3$, $2x+t=3\Rightarrow x=\dfrac{3-t}2$. Solutions : $\left(\dfrac{3-t}2,\,\dfrac{3-t}2,\,t\right)$, $t\in\mathbb R$.
Contrairement à la méthode de Cramer (chapitre précédent), le pivot de Gauss :
Résoudre $\begin{cases}2x+y=5\\x+3y=10\end{cases}$ par élimination de Gauss.
$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\1&3&10\end{array}\right]$. $L_2\leftarrow L_2-\frac12L_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}2&1&5\\0&2{,}5&7{,}5\end{array}\right]$.
$2{,}5y=7{,}5\Rightarrow y=3$. $2x+3=5\Rightarrow x=1$.
Résoudre $\begin{cases}3x+2y=7\\6x+5y=16\end{cases}$.
$\left[\begin{array}{cc|c}3&2&7\\6&5&16\end{array}\right]$. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}3&2&7\\0&1&2\end{array}\right]$.
$y=2$. $3x+4=7\Rightarrow x=1$.
Résoudre $\begin{cases}x+y+z=6\\2x+3y+z=11\\x-y+2z=5\end{cases}$.
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&-2&1&-1\end{array}\right]$.
$L_3\leftarrow L_3+2L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&0&-1&-3\end{array}\right]$.
$-z=-3\Rightarrow z=3$. $y-3=-1\Rightarrow y=2$. $x+2+3=6\Rightarrow x=1$.
Résoudre $\begin{cases}y+z=3\\x+2y-z=1\\2x+y+3z=9\end{cases}$ (remarquer que le premier pivot naturel est nul).
Le terme $a_{11}=0$ : on échange $L_1$ et $L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&1&1&3\\2&1&3&9\end{array}\right]$.
$L_3\leftarrow L_3-2L_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&1&1&3\\0&-3&5&7\end{array}\right]$. $L_3\leftarrow L_3+3L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&1&1&3\\0&0&8&16\end{array}\right]$.
$z=2$. $y+2=3\Rightarrow y=1$. $x+2-2=1\Rightarrow x=1$.
Vérifier la solution $(1,1,2)$ de l'exercice 4 dans la troisième équation d'origine.
$2(1)+1+3(2)=2+1+6=9$ ✓, conforme au second membre.
Étudier $\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=10\end{cases}$.
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\0&0&4\end{array}\right]$.
La ligne $[0\ 0\,|\,4]$ correspond à l'équation impossible $0=4$ : le système n'a aucune solution (cours §4).
Étudier $\begin{cases}x+2y+z=4\\2x+4y+2z=8\\x+y+z=3\end{cases}$.
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $[0\ 0\ 0\,|\,0]$ (ligne 2 était le double de la ligne 1) : équation redondante.
Il reste $x+2y+z=4$ et $x+y+z=3$, soit 2 équations pour 3 inconnues : une infinité de solutions (une inconnue libre).
Résoudre $\begin{cases}-x+2y+z=-3\\2x-y+3z=8\\x+y-2z=-1\end{cases}$.
$L_2\leftarrow L_2+2L_1$, $L_3\leftarrow L_3+L_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}-1&2&1&-3\\0&3&5&2\\0&3&-1&-4\end{array}\right]$.
$L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}-1&2&1&-3\\0&3&5&2\\0&0&-6&-6\end{array}\right]$.
$z=1$. $3y+5=2\Rightarrow y=-1$. $-x-2+1=-3\Rightarrow x=2$.
Écrire la matrice augmentée initiale du système de l'exercice 3, sans faire les calculs.
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&11\\1&-1&2&5\end{array}\right]$ (les coefficients de chaque équation, suivis du second membre après la barre).
L'équilibrage de $aC_2H_6+bO_2\to cCO_2+dH_2O$ conduit (par conservation des atomes) au système $\begin{cases}2a=c\\6a=2d\\2b=2c+d\end{cases}$. En posant $a=1$, résoudre pour $b,c,d$.
Avec $a=1$ : $c=2$ (de la 1ère équation), $d=3$ (de la 2e équation, $6=2d$).
$2b=2(2)+3=7\Rightarrow b=3{,}5$. En multipliant tout par 2 pour avoir des entiers : $a=2,b=7,c=4,d=6$ — l'équation équilibrée classique $2C_2H_6+7O_2\to4CO_2+6H_2O$.
À une intersection, la conservation du flux donne $x_1+x_2=500$ (entrées) $=x_3+x_4$ (sorties), avec de plus $x_3=300$ mesuré. Combien d'équations indépendantes reste-t-il, et que peut-on en déduire sur le nombre de solutions pour $(x_1,x_2,x_4)$ ?
On a $x_1+x_2=500$ et $x_4=500-300=200$ (déduit de la conservation totale), mais $x_1$ et $x_2$ individuellement ne sont liés que par une seule équation ($x_1+x_2=500$) : il reste un degré de liberté, donc une infinité de répartitions possibles entre $x_1$ et $x_2$ compatibles avec les mesures — un cas typique de système sous-déterminé en ingénierie du trafic, nécessitant des mesures supplémentaires pour lever l'ambiguïté.
Pour un système $10\times10$, pourquoi le pivot de Gauss est-il largement préférable à la méthode de Cramer ?
Cramer nécessiterait de calculer $11$ déterminants $10\times10$ (coût prohibitif, factoriellement croissant avec la taille sans optimisation). Le pivot de Gauss ne demande qu'une seule élimination progressive, en $O(n^3)=O(1000)$ opérations environ — un gain de plusieurs ordres de grandeur (cours §6), qui explique pourquoi tous les logiciels de calcul scientifique utilisent le pivot de Gauss (ou ses variantes) plutôt que Cramer au-delà de très petits systèmes.
Après élimination, on obtient $\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&5\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{array}\right]$. Que peut-on en conclure sur le nombre de solutions ?
La dernière ligne $[0\ 0\ 0\,|\,0]$ signale une équation redondante : il reste seulement 2 équations indépendantes pour 3 inconnues, donc une infinité de solutions (une inconnue libre, cours §4).
Le système est déjà sous forme triangulaire : $\left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\0&3&2&11\\0&0&5&15\end{array}\right]$. Effectuer uniquement la remontée.
$5z=15\Rightarrow z=3$. $3y+2(3)=11\Rightarrow3y=5\Rightarrow y=\dfrac53$.
$2x+\dfrac53-3=4\Rightarrow2x=4+3-\dfrac53=\dfrac{16}3\Rightarrow x=\dfrac83$.
Pourquoi ne peut-on pas utiliser directement le pivot $a_{11}$ si celui-ci vaut $0$ ?
La formule d'élimination $L_i\leftarrow L_i-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}L_1$ implique une division par $a_{11}$ : si $a_{11}=0$, cette opération n'est pas définie. Il faut alors échanger $L_1$ avec une autre ligne ayant un coefficient non nul en première colonne, avant de poursuivre (cours, exercice 4).
Résoudre $\begin{cases}2y+z=3\\x+y+z=3\\3x-y+2z=4\end{cases}$.
$a_{11}=0$ : on échange $L_1$ et $L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&2&1&3\\3&-1&2&4\end{array}\right]$.
$L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&2&1&3\\0&-4&-1&-5\end{array}\right]$. $L_3\leftarrow L_3+2L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\0&2&1&3\\0&0&1&1\end{array}\right]$.
$z=1$. $2y+1=3\Rightarrow y=1$. $x+1+1=3\Rightarrow x=1$.
Un modèle économique simplifié à 2 secteurs vérifie $\begin{cases}x_1-0{,}2x_2=100\\-0{,}3x_1+x_2=50\end{cases}$ (productions d'équilibre). Résoudre par élimination.
$L_2\leftarrow L_2+0{,}3L_1$ : $\left[\begin{array}{cc|c}1&-0{,}2&100\\0&1-0{,}06&50+30\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc|c}1&-0{,}2&100\\0&0{,}94&80\end{array}\right]$.
$x_2=\dfrac{80}{0{,}94}\approx85{,}1$. $x_1=100+0{,}2\times85{,}1\approx117{,}0$ — les niveaux de production d'équilibre pour satisfaire à la fois la demande finale et la demande intersectorielle.
Expliquer pourquoi l'opération $L_i\leftarrow L_i-\lambda L_k$ ne change pas l'ensemble des solutions du système.
Si $(x_1,\dots,x_n)$ vérifie à la fois l'équation $i$ et l'équation $k$ du système d'origine, elle vérifie automatiquement leur combinaison linéaire (équation $i$ moins $\lambda$ fois l'équation $k$) : toute solution du système d'origine reste donc solution du nouveau système. Réciproquement, l'opération est réversible ($L_i\leftarrow L_i+\lambda L_k$ l'annule), donc toute solution du nouveau système est aussi solution de l'ancien — les deux systèmes ont exactement le même ensemble de solutions.
Vrai ou faux : « le pivot de Gauss ne peut être utilisé que pour des systèmes carrés (autant d'équations que d'inconnues) ».
Faux (cours §6) : contrairement à Cramer, le pivot de Gauss s'applique à des systèmes rectangulaires (plus d'équations que d'inconnues, ou l'inverse) — c'est même l'une de ses forces principales par rapport à Cramer, restreint aux systèmes carrés inversibles.
Résoudre entièrement $\begin{cases}x-y+z=2\\2x-2y+2z=4\\x+y=1\end{cases}$, en donnant la solution générale paramétrée.
$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $[0\ 0\ 0\,|\,0]$ (ligne 2 = double de ligne 1) : redondante.
Il reste $x-y+z=2$ et $x+y=1$, soit 2 équations pour 3 inconnues. Posons $z=t$ (paramètre libre).
De $x+y=1$ : $y=1-x$. En substituant dans $x-y+z=2$ : $x-(1-x)+t=2\Rightarrow2x-1+t=2\Rightarrow x=\dfrac{3-t}2$.
$y=1-\dfrac{3-t}2=\dfrac{t-1}2$. Solution générale : $\left(\dfrac{3-t}2,\,\dfrac{t-1}2,\,t\right)$, $t\in\mathbb R$.
Exercice A — Résoudre par le pivot de Gauss :
$$\begin{cases}x+y+2z=5\\2x+3y+z=8\\x-y+z=2\end{cases}$$
1. Écrire la matrice augmentée et effectuer l'élimination de la colonne 1.
2. Poursuivre l'élimination jusqu'à la forme triangulaire.
3. Effectuer la remontée pour trouver $x,y,z$.
Exercice B — Question de cours
Un système $4\times4$ après élimination complète présente une ligne entièrement nulle, et une autre ligne $[0\ 0\ 0\ 0\,|\,3]$. Que peut-on en conclure ?
Un treillis triangulaire simple a trois membrures de tensions inconnues $T_1,T_2,T_3$ (en newtons), reliées par les équations d'équilibre aux trois nœuds :
$$\begin{cases}T_1+T_2=150\\T_2+T_3=200\\T_1+T_3=250\end{cases}$$
1. Écrire la matrice augmentée et effectuer l'élimination pour obtenir une forme triangulaire.
2. Résoudre pour $T_1,T_2,T_3$.
3. Sachant que les câbles utilisés supportent au maximum $120$ N, l'un d'eux risque-t-il de rompre ?