Généraliser la moyenne arithmétique à une fonction continue : le théorème de la moyenne garantit qu'elle est effectivement atteinte, avec des applications directes en vitesse, température et puissance électrique.
Comment généraliser la notion de « moyenne » à une fonction continue, qui prend une infinité de valeurs sur un intervalle ? L'intégrale fournit la réponse naturelle.
Soit $f$ continue sur $[a,b]$, avec $a
$$\mu = \frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$$
Intuition : $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $(b-a)$ dont l'aire est égale à celle sous la courbe de $f$ sur $[a,b]$ — c'est exactement la généralisation continue de la moyenne arithmétique $\dfrac1n\sum_{i=1}^ny_i$ (une somme discrète devient une intégrale).
Calculons la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$.
$\mu = \dfrac1{2-0}\displaystyle\int_0^2x^2\,dx = \dfrac12\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^2 = \dfrac12\times\dfrac83 = \dfrac43\approx1{,}333$.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe (au moins) un réel $c\in[a,b]$ tel que :
$$f(c) = \mu = \frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$$
Autrement dit, une fonction continue atteint effectivement sa valeur moyenne en au moins un point de l'intervalle — ce n'est pas qu'une abstraction, mais une valeur réellement prise par $f$. Ce théorème est une conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$ (dont le minimum $m$ et le maximum $M$ encadrent $\mu$ : $m\le\mu\le M$).
La droite horizontale $y=\mu$ (dorée) découpe sous la courbe une aire de rectangle égale à l'aire réelle sous $f$. Le point $c$ (vert) est un point où la courbe croise effectivement cette droite : $f(c)=\mu$.
Pour $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ (exemple précédent, $\mu=4/3$), trouvons un $c\in[0,2]$ tel que $f(c)=\mu$.
$c^2=\dfrac43\Rightarrow c=\dfrac2{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}3\approx1{,}155$ (on ne garde que la racine positive, car $c\in[0,2]$).
La valeur moyenne apparaît naturellement dans de nombreux contextes physiques :
La température au cours d'une journée est modélisée par $T(t)=20+10\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ (°C, $t$ en heures, $t\in[0,24]$).
$T_{moy}=\dfrac1{24}\displaystyle\int_0^{24}\left(20+10\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)\right)dt = 20$°C (le terme sinusoïdal, intégré sur une période complète, contribue $0$ — cohérent avec le fait qu'un sinus complet a autant d'aire positive que négative).
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=3x$ sur $[0,4]$.
$\mu=\dfrac14\displaystyle\int_0^43x\,dx=\dfrac14\left[\dfrac{3x^2}2\right]_0^4=\dfrac14\times24=6$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^3$ sur $[0,2]$.
$\mu=\dfrac12\displaystyle\int_0^2x^3\,dx=\dfrac12\left[\dfrac{x^4}4\right]_0^2=\dfrac12\times4=2$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=e^x$ sur $[0,1]$.
$\mu=\dfrac1{1-0}\displaystyle\int_0^1e^xdx=\Big[e^x\Big]_0^1=e-1\approx1{,}718$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\dfrac1x$ sur $[1,e]$.
$\mu=\dfrac1{e-1}\displaystyle\int_1^e\dfrac1x\,dx=\dfrac{\Big[\ln x\Big]_1^e}{e-1}=\dfrac1{e-1}\approx0{,}582$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\sin x$ sur $[0,\pi/2]$.
$\mu=\dfrac1{\pi/2}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\dfrac2\pi\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi/2}=\dfrac2\pi(0-(-1))=\dfrac2\pi\approx0{,}637$.
Trouver $c\in[0,4]$ tel que $f(c)=\mu$ pour $f(x)=x$ sur $[0,4]$.
$\mu=\dfrac14\int_0^4xdx=\dfrac14\times8=2$. $f(c)=c=2$ : $c=2$, exactement le milieu de l'intervalle (cas particulier des fonctions affines, où $c=\frac{a+b}2$ toujours).
Trouver $c\in[0,2]$ tel que $f(c)=\mu$ pour $f(x)=x^3$ sur $[0,2]$ (voir exercice 2, $\mu=2$).
$c^3=2\Rightarrow c=\sqrt[3]2\approx1{,}260$ — ici $c$ n'est pas le milieu de l'intervalle ($1$), contrairement au cas affine de l'exercice 6.
Un mobile a pour position $x(t)=t^2$ (m). Calculer sa vitesse moyenne sur $[0,3]$ s, puis vérifier via $\dfrac{x(3)-x(0)}{3-0}$.
$v(t)=x'(t)=2t$. $\bar v=\dfrac13\displaystyle\int_0^32t\,dt=\dfrac13\Big[t^2\Big]_0^3=\dfrac13\times9=3$ m/s.
Vérification : $\dfrac{x(3)-x(0)}{3-0}=\dfrac{9-0}3=3$ m/s ✓ (cohérent avec le cours §5 : la vitesse moyenne redonne le taux d'accroissement de la position).
Démontrer que si $m\le f(x)\le M$ pour tout $x\in[a,b]$, alors $m\le\mu\le M$.
En intégrant l'inégalité $m\le f(x)\le M$ entre $a$ et $b$ (l'intégration conserve les inégalités) : $m(b-a)\le\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\le M(b-a)$.
En divisant par $(b-a)>0$ : $m\le\mu\le M$ — c'est cet encadrement qui, combiné au théorème des valeurs intermédiaires, justifie l'existence du point $c$ du théorème de la moyenne (cours §3).
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\cos x$ sur $[0,2\pi]$.
$\mu=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos x\,dx=\dfrac1{2\pi}\Big[\sin x\Big]_0^{2\pi}=\dfrac1{2\pi}(0-0)=0$ : sur une période complète, les contributions positives et négatives du cosinus se compensent exactement.
Montrer que la valeur moyenne d'une fonction constante $f(x)=k$ sur $[a,b]$ vaut $k$.
$\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bk\,dx=\dfrac1{b-a}\times k(b-a)=k$ — un résultat évident mais rassurant : la moyenne d'une valeur constante est bien cette valeur elle-même.
Un courant alternatif s'écrit $i(t)=I_0\cos(\omega t)$. Calculer sa valeur moyenne sur une période $T=\dfrac{2\pi}\omega$. Pourquoi cette valeur (souvent nulle) n'est-elle pas utile pour caractériser la puissance réellement dissipée par ce courant ?
$\bar i=\dfrac1T\displaystyle\int_0^Ti(t)\,dt=0$ (même raisonnement que l'exercice 10, sur une période complète).
Une moyenne nulle ne signifie pas une absence d'effet physique : la puissance dissipée dans une résistance est proportionnelle à $i(t)^2$ (toujours positif), pas à $i(t)$ lui-même. C'est pourquoi on utilise en électricité la valeur efficace (RMS, racine de la moyenne du carré), et non la moyenne simple, pour caractériser un signal alternatif (voir exercice 17).
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\sqrt x$ sur $[0,4]$.
$\mu=\dfrac14\displaystyle\int_0^4\sqrt x\,dx=\dfrac14\left[\dfrac23x^{3/2}\right]_0^4=\dfrac14\times\dfrac23\times8=\dfrac43\approx1{,}333$.
Démontrer que la valeur moyenne de $2f+3g$ sur $[a,b]$ vaut $2\mu_f+3\mu_g$, où $\mu_f,\mu_g$ sont les valeurs moyennes respectives de $f$ et $g$.
Par linéarité de l'intégrale : $\mu_{2f+3g}=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b(2f+3g)\,dx=\dfrac1{b-a}\left(2\int_a^bf\,dx+3\int_a^bg\,dx\right)=2\mu_f+3\mu_g$. La valeur moyenne hérite donc directement de la linéarité de l'intégrale.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=|x|$ sur $[-2,2]$.
On découpe l'intégrale : $\displaystyle\int_{-2}^2|x|\,dx=\int_{-2}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx=2+2=4$.
$\mu=\dfrac4{2-(-2)}=\dfrac44=1$.
Pour $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ (valeur moyenne $\mu=4/3$, cours §2), comparer $\mu$ à $f\left(\dfrac{0+2}2\right)=f(1)$.
$f(1)=1$, alors que $\mu=4/3\approx1{,}333\neq1$ : la valeur moyenne d'une fonction n'est pas en général la valeur au milieu de l'intervalle — cette coïncidence n'a lieu que pour les fonctions affines (exercice 6), pas pour une fonction convexe comme $x^2$ (dont la moyenne est ici tirée vers le haut par la croissance rapide de la courbe).
La puissance instantanée dissipée par un courant $i(t)=I_0\cos(\omega t)$ dans une résistance $R$ est $P(t)=Ri(t)^2$. Montrer que la puissance moyenne vaut $\dfrac{RI_0^2}2$.
$\bar P=\dfrac1T\displaystyle\int_0^TRI_0^2\cos^2(\omega t)\,dt$, avec $T=\dfrac{2\pi}\omega$. On utilise $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}2$ :
$\bar P=\dfrac{RI_0^2}T\displaystyle\int_0^T\dfrac{1+\cos(2\omega t)}2\,dt=\dfrac{RI_0^2}{2T}\times T=\dfrac{RI_0^2}2$ (le terme en $\cos(2\omega t)$ s'intègre à $0$ sur une période complète, même raisonnement que l'exercice 10). On retrouve ici la définition de la valeur efficace $I_{eff}=I_0/\sqrt2$, telle que $\bar P=RI_{eff}^2$.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=\ln x$ sur $[1,e]$.
Une primitive de $\ln x$ est $x\ln x-x$ (chapitre « Intégration par parties »).
$\mu=\dfrac1{e-1}\Big[x\ln x-x\Big]_1^e=\dfrac1{e-1}\big((e-e)-(0-1)\big)=\dfrac1{e-1}\approx0{,}582$.
Pour une fonction constante $f(x)=5$ sur $[0,10]$, combien de valeurs de $c$ vérifient $f(c)=\mu$ ?
$\mu=5$ (exercice 11), et $f(c)=5$ pour tout $c\in[0,10]$ : le point $c$ du théorème de la moyenne (cours §3) n'est donc pas toujours unique — il l'est pour les fonctions strictement monotones (comme les exercices 6, 7), mais pas en général.
Le débit de précipitations (mm/jour) sur un mois de 30 jours est modélisé par $r(t)=2+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{15}\right)$ pour $t\in[0,30]$. (a) Calculer le cumul total de précipitations sur le mois. (b) En déduire le débit moyen journalier. (c) Vérifier la cohérence avec le fait que $\sin$ complète exactement 1 période sur $[0,30]$.
(a) Cumul $=\displaystyle\int_0^{30}\left(2+3\sin\left(\dfrac{\pi t}{15}\right)\right)dt = \Big[2t\Big]_0^{30}+3\left[-\dfrac{15}\pi\cos\left(\dfrac{\pi t}{15}\right)\right]_0^{30} = 60+3\times\left(-\dfrac{15}\pi\right)(\cos(2\pi)-\cos0) = 60+0=60$ mm.
(b) Débit moyen $=\mu=\dfrac{60}{30}=2$ mm/jour.
(c) La période de $\sin\left(\frac{\pi t}{15}\right)$ est $\dfrac{2\pi}{\pi/15}=30$ jours : exactement l'intervalle d'intégration. Comme pour les exercices 10 et 12, l'intégrale du terme sinusoïdal sur une période complète est nulle, donc la moyenne se réduit exactement au terme constant $2$ — cohérent avec le résultat trouvé.
Exercice A — Soit $f(x)=x^2-2x+3$ sur $[0,4]$.
1. Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[0,4]$.
2. Déterminer un réel $c\in[0,4]$ tel que $f(c)=\mu$.
3. Combien de solutions $c$ le théorème de la moyenne garantit-il ici, et pourquoi peut-il y en avoir plusieurs ?
Exercice B — Question de cours
Démontrer que si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $f\le g$ partout, alors $\mu_f\le\mu_g$.
La puissance produite par un panneau solaire au cours d'une journée d'ensoleillement (de 6h à 18h, soit $t\in[0,12]$ en heures depuis le lever) est modélisée par $P(t)=500\sin\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ (en watts).
1. Calculer la puissance moyenne produite sur cette plage de 12 heures.
2. Déterminer les instants $t$ où la puissance instantanée est exactement égale à la puissance moyenne.
3. Pourquoi trouve-t-on deux instants différents dans cette journée où $P(t)=\mu$, contrairement à l'exercice A du sujet 1 où une seule solution était valide ?