La distributivité, appliquée une ou deux fois, puis le regroupement des termes semblables : les deux gestes de base de tout calcul algébrique.
Développer, c'est transformer un produit en somme, en appliquant la distributivité de la multiplication sur l'addition.
$$k(a+b) = ka+kb$$
$3(x+4) = 3x+12$.
Pour développer le produit de deux parenthèses, chaque terme de la première se multiplie par chaque terme de la seconde :
$$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$$
$(x+2)(x+5) = x\times x + x\times5 + 2\times x + 2\times5 = x^2+5x+2x+10 = x^2+7x+10$.
Réduire, c'est regrouper les termes semblables (même variable, même puissance) pour obtenir l'écriture la plus simple possible.
$5x+3x-2x = (5+3-2)x = 6x$.
Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur : $-(2x-5) = -2x+5$, et non $-2x-5$. C'est l'une des erreurs les plus fréquentes en calcul algébrique.
$4(x-2)-3(x-5) = 4x-8-3x+15 = (4x-3x)+(-8+15) = x+7$.
Lorsqu'une expression a la forme $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$, on peut aller plus vite en utilisant directement les identités remarquables (voir la leçon dédiée), plutôt que la double distributivité terme à terme.
La multiplication est prioritaire sur l'addition. Dans $2x(x-3)+5x$, on développe d'abord le produit, puis on additionne : $2x(x-3)+5x=2x^2-6x+5x=2x^2-x$ — ne jamais additionner $5x$ « à l'intérieur » de la parenthèse avant de développer.
Développer $4(x+3)$.
$4(x+3)=4x+12$.
Développer $-2(x-5)$.
$-2(x-5)=-2x+10$.
Développer $(x+2)(x+5)$.
$(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$.
Développer $(2x-3)(x+4)$.
$(2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12$.
Réduire $7x-4x+2x$.
$7x-4x+2x=(7-4+2)x=5x$.
Développer et réduire $3(x+4)-2(x-1)$.
$3(x+4)-2(x-1)=3x+12-2x+2=x+14$.
Développer et réduire $4(x-2)-3(x-5)$.
$4(x-2)-3(x-5)=4x-8-3x+15=x+7$.
Développer et réduire $2x(x-3)+5x$.
$2x(x-3)+5x=2x^2-6x+5x=2x^2-x$.
Développer et réduire $-3(2x-1)+4(x+2)$.
$-3(2x-1)+4(x+2)=-6x+3+4x+8=-2x+11$.
Développer $(x-1)(x-2)$.
$(x-1)(x-2)=x^2-2x-x+2=x^2-3x+2$.
Développer $(x+1)(x-4)$, puis résoudre $(x+1)(x-4)=x^2-10$.
$(x+1)(x-4)=x^2-4x+x-4=x^2-3x-4$.
L'équation devient $x^2-3x-4=x^2-10$, soit $-3x-4=-10$, donc $-3x=-6$, d'où $x=2$.
Développer et réduire $2(x+1)^2-3(x-1)$ (en utilisant l'identité remarquable pour le premier terme).
$(x+1)^2=x^2+2x+1$, donc $2(x+1)^2=2x^2+4x+2$.
$2(x+1)^2-3(x-1)=2x^2+4x+2-3x+3=2x^2+x+5$.
Exercice A — Développer et réduire.
1. $5(x-3)+2(x+4)$
2. $(x+3)(x-6)$
3. $3x(x+2)-4x$
Exercice B — Développer et réduire $-2(3x-4)+5(x-1)$, en détaillant chaque étape.
Exercice C — Piège classique
Un élève affirme que $-(x-3)=-x-3$. A-t-il raison ? Justifier et donner le bon développement.