Une formule courte, mais qui demande de bien enchaîner dérivée et valeur de la fonction : la tangente traduit géométriquement le nombre dérivé.
Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure la « pente » de la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ — le taux de variation instantané de $f$ en ce point. C'est précisément ce nombre qui va nous permettre de construire l'équation de la tangente.
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :
$$y = f'(a)(x-a)+f(a)$$
C'est la droite qui passe par le point $(a,f(a))$ et dont le coefficient directeur vaut exactement $f'(a)$.
La tangente touche la courbe en un seul point au voisinage de $a$ et « colle » à la courbe localement : sa pente est exactement $f'(a)$, le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Tangente à $f(x)=x^2$ en $a=1$. On a $f(1)=1$ et $f'(x)=2x$ donc $f'(1)=2$.
$y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1$.
La tangente est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) exactement lorsque $f'(a)=0$ — c'est la condition caractéristique d'un extremum local de $f$ en $a$.
Comparer $f(x)$ et l'expression de la tangente $T(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ renseigne sur la convexité locale de la courbe : si $f(x)\ge T(x)$ au voisinage de $a$, la courbe est au-dessus de sa tangente (convexité) ; si $f(x)\le T(x)$, elle est en dessous.
La tangente à $f(x)=\e^x$ en $a=0$ est $y=x+1$. On peut montrer que $\e^x\ge x+1$ pour tout $x$ : la courbe de l'exponentielle est toujours au-dessus de cette tangente.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=x^2$ au point d'abscisse $2$.
$f(2)=4$, $f'(x)=2x$ donc $f'(2)=4$. Tangente : $y=4(x-2)+4=4x-4$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=x^3$ au point d'abscisse $1$.
$f(1)=1$, $f'(x)=3x^2$ donc $f'(1)=3$. Tangente : $y=3(x-1)+1=3x-2$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $0$.
$f(0)=2$, $f'(x)=2x-3$ donc $f'(0)=-3$. Tangente : $y=-3(x-0)+2=-3x+2$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=\dfrac1x$ au point d'abscisse $2$.
$f(2)=0{,}5$, $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$ donc $f'(2)=-0{,}25$. Tangente : $y=-0{,}25(x-2)+0{,}5=-0{,}25x+1$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=\sqrt x$ au point d'abscisse $9$.
$f(9)=3$, $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ donc $f'(9)=\dfrac16$. Tangente : $y=\dfrac16(x-9)+3=\dfrac16x+1{,}5$.
Pour $f(x)=x^2-4x+1$, trouver l'abscisse du point où la tangente est horizontale.
$f'(x)=2x-4$. La tangente est horizontale quand $f'(x)=0$, soit $2x-4=0$, donc $x=2$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=\e^x$ au point d'abscisse $1$.
$f(1)=\e$, $f'(x)=\e^x$ donc $f'(1)=\e$. Tangente : $y=\e(x-1)+\e=\e x$.
Déterminer l'équation de la tangente à $f(x)=\ln x$ au point d'abscisse $\e$.
$f(\e)=1$, $f'(x)=\dfrac1x$ donc $f'(\e)=\dfrac1\e$. Tangente : $y=\dfrac1\e(x-\e)+1=\dfrac1\e x$.
La tangente à $f(x)=x^2$ en $a=3$ passe-t-elle par le point $(5,20)$ ?
$f(3)=9$, $f'(x)=2x$ donc $f'(3)=6$. Tangente : $y=6(x-3)+9=6x-9$.
Pour $x=5$ : $y=6\times5-9=21\neq20$. La tangente ne passe donc pas par $(5,20)$.
Pour $f(x)=x^2-4x+3$, déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $3$, puis vérifier que ce point appartient bien à la courbe.
$f(3)=9-12+3=0$, $f'(x)=2x-4$ donc $f'(3)=2$. Tangente : $y=2(x-3)+0=2x-6$.
Vérification : le point $(3,f(3))=(3,0)$ est bien sur la tangente, car $2\times3-6=0$.
Exercice A — Pour $f(x)=x^2-2x-3$ :
1. Calculer $f(4)$ et $f'(4)$.
2. En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $4$.
3. Vérifier que le point de coordonnées $(4,5)$ appartient à cette tangente.
Exercice B — Pour $g(x)=x^3-3x$, déterminer l'abscisse du (ou des) point(s) où la tangente est horizontale.