Deux fonctions réciproques l'une de l'autre, omniprésentes dès qu'on modélise une croissance, une décroissance, ou qu'on résout une équation où l'inconnue est en exposant.
La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x\mapsto\e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\R$ telle que $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$. Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\R$.
Propriété fondamentale : $\e^{a+b}=\e^a\times\e^b$, qui transforme les sommes en produits.
Le logarithme népérien $\ln$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : pour $x\gt 0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $\e^y=x$. On a donc $\ln(\e^x)=x$ pour tout $x$, et $\e^{\ln x}=x$ pour tout $x\gt 0$.
Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ : c'est la traduction géométrique du fait que ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre.
Propriété fondamentale : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ pour $a,b\gt 0$, qui transforme les produits en sommes — c'est historiquement pour cela que le logarithme a été inventé.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ |
| Quotient | $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ |
| Puissance | $\ln(a^n)=n\ln a$ |
| Inverse | $\ln(1/a)=-\ln a$ |
Pour $\e^{u(x)}=k$ ($k\gt 0$), on passe au logarithme des deux côtés : $u(x)=\ln k$. Pour $\ln(u(x))=k$, on passe à l'exponentielle : $u(x)=\e^k$, en vérifiant au préalable que $u(x)\gt 0$.
Résoudre $\e^{2x-1}=7$ : $2x-1=\ln7$, donc $x=\dfrac{1+\ln7}2$.
$$(\e^u)'=u'\e^u, \qquad (\ln u)'=\frac{u'}u \ (\text{pour } u\gt 0)$$
En $+\infty$, le logarithme croît toujours plus lentement que n'importe quelle puissance $x^\alpha$ ($\alpha\gt 0$), elle-même toujours dominée par une exponentielle $\e^{\beta x}$ ($\beta\gt 0$) : $\ln x \ll x^\alpha \ll \e^{\beta x}$.
Simplifier $\ln(\e^5)$.
$\ln(\e^5)=5$, car $\ln$ et $\exp$ sont réciproques.
Sachant $\ln2\approx0{,}693$ et $\ln3\approx1{,}099$, calculer $\ln6$.
$\ln6=\ln(2\times3)=\ln2+\ln3\approx0{,}693+1{,}099=1{,}792$.
Résoudre $\e^{x}=5$.
$x=\ln5$.
Résoudre $\ln(x)=2$.
$x=\e^2$ (qui est bien strictement positif).
Résoudre $\e^{3x+1}=10$.
$3x+1=\ln10$, donc $x=\dfrac{\ln10-1}3$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\e^{-2x+3}$.
Avec $u=-2x+3$, $u'=-2$ : $f'(x)=-2\e^{-2x+3}$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\ln(3x+2)$ (pour $x\gt -2/3$).
Avec $u=3x+2$, $u'=3$ : $f'(x)=\dfrac3{3x+2}$.
Résoudre $\ln(x-1)=0$.
$\ln(x-1)=0 \Rightarrow x-1=\e^0=1 \Rightarrow x=2$.
On vérifie que $x-1=1\gt 0$ : la solution $x=2$ est bien valide.
Sans calculatrice, comparer $\ln(1000)$ et $\sqrt{1000}$.
En vertu des croissances comparées, $\ln x$ est toujours très inférieur à $\sqrt x$ pour $x$ grand : ici $\ln(1000)\approx6{,}9$ alors que $\sqrt{1000}\approx31{,}6$ : $\ln(1000)\lt \sqrt{1000}$.
Une population croît selon $N(t)=N_0\e^{0{,}05t}$ ($t$ en années). Déterminer le temps de doublement de la population.
On résout $2N_0=N_0\e^{0{,}05t}$, soit $\e^{0{,}05t}=2$, donc $0{,}05t=\ln2$.
$t=\dfrac{\ln2}{0{,}05}\approx13{,}86$ années.
Résoudre l'inéquation $\ln(x)\le1$ sur son domaine de définition.
Le domaine de définition est $x\gt 0$. Comme $\ln$ est strictement croissante, $\ln(x)\le1=\ln(\e)$ équivaut à $x\le\e$.
L'ensemble des solutions est $]0\,;\,\e]$.
Résoudre l'équation $\e^{2x}-3\e^x+2=0$ (indication : poser $X=\e^x$).
En posant $X=\e^x\gt 0$, l'équation devient $X^2-3X+2=0$, qui se factorise en $(X-1)(X-2)=0$, donc $X=1$ ou $X=2$.
$\e^x=1 \Rightarrow x=0$ ; $\e^x=2 \Rightarrow x=\ln2$. Les deux solutions sont valides ($X\gt 0$ dans les deux cas).
Exercice A — Résoudre les équations suivantes.
1. $\e^x=12$
2. $\ln(2x+1)=0$ (avec vérification du domaine)
Exercice B — Calculer la dérivée de $f(x)=\ln(x^2+3x+1)$.
Exercice C — Application
Un médicament se désintègre dans l'organisme selon $C(t)=C_0\e^{-0{,}2t}$ ($t$ en heures). Calculer la demi-vie du médicament, c'est-à-dire le temps au bout duquel la concentration a diminué de moitié.