Transformer une somme en produit : la compétence clé pour résoudre des équations, simplifier des expressions et étudier un signe.
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs, plutôt que sous forme d'une somme. C'est l'opération inverse de développer, et elle est indispensable pour résoudre des équations, simplifier des fractions ou étudier un signe.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Une somme, elle, ne donne aucune information directe sur ses termes quand elle vaut 0. C'est pour cela qu'on factorise avant de résoudre une équation du type $f(x)=0$.
La méthode la plus simple : repérer un facteur présent dans tous les termes, et le mettre en évidence.
$$ka+kb = k(a+b)$$
$6x^3-9x^2 = 3x^2\times2x-3x^2\times3 = 3x^2(2x-3)$ : le plus grand facteur commun ici est $3x^2$.
Si l'expression a la forme $a^2+2ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2$, ou $a^2-b^2$, on peut factoriser directement (voir la leçon dédiée aux identités remarquables) :
| Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|
| $a^2+2ab+b^2$ | $(a+b)^2$ |
| $a^2-2ab+b^2$ | $(a-b)^2$ |
| $a^2-b^2$ | $(a+b)(a-b)$ |
Pour factoriser $x^2+sx+p$, on cherche deux nombres $r_1$ et $r_2$ dont la somme vaut $s$ et le produit vaut $p$. On a alors $x^2+sx+p=(x-r_1)(x-r_2)$.
Pour $x^2-5x+6$ : on cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$ — ce sont $2$ et $3$. Donc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.
Pour certaines expressions à quatre termes, on regroupe astucieusement deux par deux avant de faire apparaître un facteur commun global.
$x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+1(x+1) = (x+1)(x^2+1)$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : $A\times B=0 \iff A=0 \text{ ou } B=0$.
Résoudre $x^2-16=0$ : on factorise, $(x-4)(x+4)=0$, donc $x=4$ ou $x=-4$.
Une expression factorisée en produit de facteurs simples (du premier degré) se prête immédiatement à un tableau de signes, en étudiant le signe de chaque facteur séparément puis en appliquant la règle des signes du produit.
Factoriser $5x+10$.
$5x+10=5(x+2)$.
Factoriser $2x^2+4x$.
$2x^2+4x=2x(x+2)$.
Factoriser $x^2-9$.
$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$.
Factoriser $x^2+6x+9$.
$x^2+6x+9=x^2+2\times x\times3+3^2=(x+3)^2$.
Factoriser $x^2-4x-5$.
On cherche deux nombres de somme $-4$ et de produit $-5$ : $-5$ et $1$ conviennent. Donc $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$.
Factoriser entièrement $3x^2-12$.
On factorise d'abord par $3$ : $3x^2-12=3(x^2-4)$.
Puis on reconnaît une différence de carrés : $3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$.
Factoriser $ax+ay+bx+by$.
$ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)$.
Factoriser $(x+1)(x-2)+3(x+1)$.
$(x+1)$ est un facteur commun aux deux termes : $(x+1)(x-2)+3(x+1)=(x+1)\big[(x-2)+3\big]=(x+1)(x+1)=(x+1)^2$.
Résoudre $(2x-6)(x+4)=0$.
$2x-6=0 \Rightarrow x=3$, ou $x+4=0 \Rightarrow x=-4$. L'ensemble des solutions est $\{-4\,;\,3\}$.
Résoudre l'équation $x^2-3x=0$.
On factorise par $x$ (facteur commun) : $x^2-3x=x(x-3)$.
L'équation $x(x-3)=0$ donne $x=0$ ou $x=3$.
Factoriser $2x^2-8$.
$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$.
En factorisant $f(x)=x^2-x-6$, déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
On cherche deux nombres de somme $1$ et de produit $-6$ : $3$ et $-2$. Donc $f(x)=(x-3)(x+2)$.
Un produit de deux facteurs du premier degré est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur : $f(x)\lt 0$ sur $]-2\,;\,3[$, et $f(x)\gt 0$ sur $]-\infty\,;\,-2[\cup]3\,;\,+\infty[$ (avec $f(x)=0$ en $x=-2$ et $x=3$).
Exercice A — Factoriser entièrement.
1. $x^2-25$
2. $x^2-7x+12$
3. $4x^2-20x+25$
Exercice B — Résoudre l'équation $(x-5)(2x+8)=0$.
Exercice C — Étude de signe
Factoriser $f(x)=x^2-2x-8$, puis étudier son signe selon les valeurs de $x$.