Le nombre dérivé, les formules de dérivation usuelles, et le lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation : l'outil central de l'étude de fonctions.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$. Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ : il mesure la « pente instantanée » de la courbe en $a$.
Quand $h$ se rapproche de $0$, le point $a+h$ se rapproche de $a$ et la sécante (en rouge) pivote pour se confondre avec la tangente (en or) : c'est exactement le passage à la limite qui définit le nombre dérivé $f'(a)$.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ ($n\in\N^*$) | $nx^{n-1}$ |
| $\dfrac1x$ | $-\dfrac1{x^2}$ |
| $\sqrt x$ | $\dfrac1{2\sqrt x}$ |
| $\e^x$ | $\e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ |
Pour $u$ et $v$ dérivables, et $k$ une constante :
$$(u+v)'=u'+v', \qquad (ku)'=ku', \qquad (uv)'=u'v+uv', \qquad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
Pour $f(x)=x^2\e^x$ (produit $u=x^2$, $v=\e^x$) : $f'(x)=2x\e^x+x^2\e^x=(2x+x^2)\e^x$.
Pour $u$ dérivable, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$, $(\e^u)'=u'\e^u$, et $(\ln u)'=\dfrac{u'}u$ (pour $u\gt 0$).
$f(x)=(3x-1)^4$ : avec $u=3x-1$, $u'=3$, donc $f'(x)=4\times3\times(3x-1)^3=12(3x-1)^3$.
Si $f'(x)\gt 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante sur cet intervalle ; si $f'(x)\lt 0$, $f$ est strictement décroissante ; si $f'(x)=0$, $f$ est constante.
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $a$. C'est la méthode standard pour trouver les extrema d'une fonction dérivable.
$f(x)=x^2-4x+1$, $f'(x)=2x-4$, qui s'annule en $x=2$ en passant du négatif au positif : $f$ admet un minimum local en $x=2$, $f(2)=-3$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=x^3-2x^2+5x-1$.
$f'(x)=3x^2-4x+5$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=(x+1)(x-3)$.
Avec $u=x+1$, $v=x-3$ : $f'(x)=1\times(x-3)+(x+1)\times1=(x-3)+(x+1)=2x-2$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$.
Avec $u=x$, $v=x+1$ : $f'(x)=\dfrac{1\times(x+1)-x\times1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=(2x+5)^3$.
Avec $u=2x+5$, $u'=2$ : $f'(x)=3\times2\times(2x+5)^2=6(2x+5)^2$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\e^{2x-1}$.
Avec $u=2x-1$, $u'=2$ : $f'(x)=2\e^{2x-1}$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\ln(x^2+1)$.
Avec $u=x^2+1$, $u'=2x$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Étudier le sens de variation de $f(x)=x^2-6x+8$ sur $\R$.
$f'(x)=2x-6$, qui s'annule en $x=3$ : négatif avant, positif après.
$f$ est donc décroissante sur $]-\infty,3]$ et croissante sur $[3,+\infty[$.
Déterminer les extrema éventuels de $f(x)=x^3-3x$ sur $\R$.
$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$, qui s'annule en $x=-1$ et $x=1$.
$f'$ est positive avant $-1$, négative entre $-1$ et $1$, positive après $1$ : $f$ admet un maximum local en $x=-1$ ($f(-1)=2$) et un minimum local en $x=1$ ($f(1)=-2$).
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=x\e^x$.
Avec $u=x$, $v=\e^x$ : $f'(x)=1\times\e^x+x\times\e^x=(1+x)\e^x$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}$.
Avec $u=2x-1$, $v=x^2+1$ : $u'=2$, $v'=2x$.
$f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}$.
En utilisant la définition du taux de variation, retrouver $f'(2)$ pour $f(x)=x^2$.
$\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=\dfrac{(2+h)^2-4}h=\dfrac{4+4h+h^2-4}h=\dfrac{4h+h^2}h=4+h$.
Quand $h\to0$, ce taux tend vers $4$ : $f'(2)=4$ (ce qui correspond bien à $f'(x)=2x$ évalué en $2$).
Pour $f(x)=(x^2+1)\ln x$ (définie pour $x\gt 0$), calculer $f'(x)$.
Avec $u=x^2+1$, $v=\ln x$ : $f'(x)=2x\ln x+(x^2+1)\times\dfrac1x=2x\ln x+x+\dfrac1x$.
Exercice A — Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
1. $f(x)=3x^2-5x+2$
2. $g(x)=(x-2)(x+4)$
3. $h(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$
Exercice B — On considère $f(x)=x^3-3x^2$ sur $\R$.
1. Calculer $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variation de $f$.
3. Préciser les extrema locaux de $f$.