Trois égalités à connaître par cœur, tant elles reviennent sans cesse en calcul algébrique : elles permettent de développer instantanément, de factoriser, et même de calculer mentalement.
Développer $(x+3)^2$ terme à terme, à chaque fois, prend du temps et multiplie les occasions d'erreur de signe. Les identités remarquables sont trois égalités qui donnent directement le résultat développé, sans repasser par le détail du calcul — à condition de les reconnaître instantanément, dans un sens comme dans l'autre (développer et factoriser).
$(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ ! Le terme croisé $2ab$ est systématiquement oublié par les élèves pressés — c'est l'erreur la plus fréquente de tout le lycée en calcul algébrique.
Un carré de côté $(a+b)$ se découpe naturellement en 4 régions d'aires $a^2$, $ab$, $ab$ et $b^2$ : leur somme redonne exactement $a^2+2ab+b^2$, une preuve géométrique de l'identité.
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$.
$(x+3)^2=x^2+2\times x\times3+3^2=x^2+6x+9$.
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Même démonstration que ci-dessus, en remplaçant $b$ par $-b$. Seul le signe du terme croisé change.
$(x-5)^2=x^2-2\times x\times5+5^2=x^2-10x+25$.
$$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$ : les deux termes croisés $-ab$ et $+ab$ s'annulent exactement, il ne reste que la différence des carrés.
$(3x-2)(3x+2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4$.
Les trois identités se lisent aussi de droite à gauche, pour factoriser une expression qui a la bonne forme :
| Forme développée | Forme factorisée |
|---|---|
| $a^2+2ab+b^2$ | $(a+b)^2$ |
| $a^2-2ab+b^2$ | $(a-b)^2$ |
| $a^2-b^2$ | $(a+b)(a-b)$ |
$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$ : on reconnaît une différence de deux carrés, avec $a=x$ et $b=7$.
Un usage concret et souvent sous-estimé : calculer rapidement un carré « proche d'un nombre rond », sans poser d'opération.
Pour calculer $102^2$, on écrit $102=100+2$ et on applique $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=100$, $b=2$ :
$$102^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10000+400+4=10404$$
Moins utilisée que les trois précédentes mais bonne à connaître, la même logique se prolonge au degré 3 :
$$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
On l'obtient en développant $(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$ puis en regroupant les termes semblables.
Développer $(x+4)^2$.
$(x+4)^2=x^2+2\times x\times4+4^2=x^2+8x+16$.
Développer $(x-7)^2$.
$(x-7)^2=x^2-2\times x\times7+7^2=x^2-14x+49$.
Développer $(x+6)(x-6)$.
$(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36$.
Développer $(2x+3)^2$.
$(2x+3)^2=(2x)^2+2\times2x\times3+3^2=4x^2+12x+9$.
Développer $(5x-1)^2$.
$(5x-1)^2=(5x)^2-2\times5x\times1+1^2=25x^2-10x+1$.
Développer $(4x-3)(4x+3)$.
$(4x-3)(4x+3)=(4x)^2-3^2=16x^2-9$.
Factoriser $x^2-64$.
$x^2-64=x^2-8^2=(x-8)(x+8)$.
Factoriser $x^2+10x+25$.
On reconnaît $x^2+2\times x\times5+5^2=(x+5)^2$.
Factoriser $4x^2-12x+9$.
$4x^2-12x+9=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2=(2x-3)^2$.
Calculer $98^2$ sans poser d'opération, à l'aide d'une identité remarquable.
$98^2=(100-2)^2=100^2-2\times100\times2+2^2=10000-400+4=9604$.
Factoriser entièrement $3x^2-27$.
On commence par mettre $3$ en facteur commun : $3x^2-27=3(x^2-9)$.
Puis on reconnaît la différence de carrés dans la parenthèse : $3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)$.
Sans calculatrice, calculer $27\times33$ en le ramenant à une identité remarquable.
On écrit $27=30-3$ et $33=30+3$, donc $27\times33=(30-3)(30+3)$.
D'après $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ : $27\times33=30^2-3^2=900-9=891$.
Résoudre l'équation $x^2-16=0$ en utilisant une identité remarquable.
On factorise : $x^2-16=x^2-4^2=(x-4)(x+4)$. L'équation devient $(x-4)(x+4)=0$.
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul : $x-4=0$ ou $x+4=0$, donc $x=4$ ou $x=-4$.
Développer $(x+1)^3$ à l'aide de l'identité $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
$(x+1)^3=x^3+3x^2\times1+3x\times1^2+1^3=x^3+3x^2+3x+1$.
Exercice A — Développer les expressions suivantes.
1. $(x+7)^2$
2. $(2x-5)^2$
3. $(3x+4)(3x-4)$
Exercice B — Factoriser entièrement $2x^2-50$.
Exercice C — Question de synthèse
Sans poser d'opération, calculer $19\times21$ en utilisant une identité remarquable. Détailler la méthode.