Primitives, aires sous une courbe, lien entre les deux : le calcul intégral permet de « remonter » d'une vitesse à une distance, d'un débit à un volume, ou plus généralement de sommer une quantité qui varie continûment.
$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F+C$, avec $C$ une constante réelle.
| $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $\dfrac1x$ ($x\gt 0$) | $\ln x+C$ |
| $\e^x$ | $\e^x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
Pour $f$ continue et positive sur $[a,b]$, l'intégrale $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$ et $x=b$.
L'intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ correspond à l'aire de la zone colorée, comprise entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x=a$ et $x=b$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors :
$$\int_a^bf(x)\,dx = F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$$
$\displaystyle\int_0^2 3t\,dt=\Big[\dfrac{3t^2}2\Big]_0^2=\dfrac{3\times4}2-0=6$.
$$\int_a^b\big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx = \lambda\int_a^bf(x)\,dx+\mu\int_a^bg(x)\,dx$$
Si $f\ge g$ sur $[a,b]$, l'aire de la région comprise entre les deux courbes est :
$$\mathcal A = \int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
Donner une primitive de $f(x)=3x^2$.
$F(x)=x^3+C$.
Donner une primitive de $f(x)=4x^3-2x+5$.
$F(x)=x^4-x^2+5x+C$.
Donner une primitive de $f(x)=2\e^x+3$.
$F(x)=2\e^x+3x+C$.
Calculer $\displaystyle\int_0^3 2x\,dx$.
$\displaystyle\int_0^3 2x\,dx=\big[x^2\big]_0^3=9-0=9$.
Calculer $\displaystyle\int_1^2 (3x^2-1)\,dx$.
Une primitive est $F(x)=x^3-x$.
$\displaystyle\int_1^2(3x^2-1)\,dx=F(2)-F(1)=(8-2)-(1-1)=6-0=6$.
Calculer l'aire sous la courbe de $f(x)=x^2$ entre $x=0$ et $x=3$.
Aire $=\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}3\Big]_0^3=\dfrac{27}3=9$ unités d'aire.
Calculer $\displaystyle\int_1^{\e}\dfrac1x\,dx$.
$\displaystyle\int_1^{\e}\dfrac1x\,dx=\big[\ln x\big]_1^{\e}=\ln(\e)-\ln(1)=1-0=1$.
Calculer $\displaystyle\int_0^1 \e^{2x}\,dx$.
Une primitive de $\e^{2x}$ est $\dfrac12\e^{2x}$ (car $(\frac12\e^{2x})'=\frac12\times2\e^{2x}=\e^{2x}$).
$\displaystyle\int_0^1\e^{2x}\,dx=\Big[\dfrac12\e^{2x}\Big]_0^1=\dfrac12\e^2-\dfrac12=\dfrac{\e^2-1}2$.
Calculer l'aire entre les courbes de $f(x)=x+2$ et $g(x)=x^2$ sur l'intervalle $[-1,2]$ (on admet $f\ge g$ sur cet intervalle).
Aire $=\displaystyle\int_{-1}^2\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\int_{-1}^2(-x^2+x+2)\,dx$.
Une primitive est $F(x)=-\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^2}2+2x$. $F(2)=-\dfrac83+2+4=\dfrac{10}3$, $F(-1)=\dfrac13+\dfrac12-2=-\dfrac76$. Aire $=\dfrac{10}3-\left(-\dfrac76\right)=\dfrac{20}6+\dfrac76=\dfrac{27}6=4{,}5$.
La vitesse d'un mobile est $v(t)=3t$ (m/s). Calculer la distance parcourue entre $t=0$ et $t=4$ s.
Distance $=\displaystyle\int_0^4 3t\,dt=\Big[\dfrac{3t^2}2\Big]_0^4=\dfrac{3\times16}2=24$ m.
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$.
Valeur moyenne $=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac13\int_0^3x^2\,dx$.
$\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}3\Big]_0^3=9$, donc la valeur moyenne est $\dfrac93=3$.
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (x-1)^2\,dx$ (en développant d'abord le carré).
$(x-1)^2=x^2-2x+1$. Une primitive est $F(x)=\dfrac{x^3}3-x^2+x$.
$F(2)=\dfrac83-4+2=\dfrac83-2=\dfrac23$, $F(0)=0$. Donc $\displaystyle\int_0^2(x-1)^2\,dx=\dfrac23$.
Exercice A — Calculer les intégrales suivantes.
1. $\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,dx$
2. $\displaystyle\int_1^2\dfrac1x\,dx$
Exercice B — Calculer l'aire sous la courbe de $f(x)=x^2+1$ entre $x=0$ et $x=2$.
Exercice C — Application
Le débit d'un robinet est $d(t)=2t+1$ (litres par minute). Calculer le volume d'eau écoulé entre $t=0$ et $t=5$ minutes.