Un nouvel ensemble de nombres qui résout ce que les réels ne peuvent pas : donner un sens à la racine carrée d'un nombre négatif.
Dans $\R$, l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution : un carré de réel est toujours positif ou nul. On introduit un nombre noté $i$, vérifiant $i^2=-1$, ce qui permet de construire un nouvel ensemble $\C$ contenant $\R$.
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$, avec $a,b\in\R$. $a=\Re(z)$ est la partie réelle, $b=\Im(z)$ la partie imaginaire.
Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ :
$$z+z' = (a+a')+i(b+b'), \qquad z\times z' = (aa'-bb')+i(ab'+a'b)$$
$(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=2-5i+3=5-5i$.
Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z=a-ib$. Le module de $z$ est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$, un réel positif.
Propriété essentielle : $z\bar z=a^2+b^2=|z|^2$, qui permet de diviser par un complexe non nul en multipliant par le conjugué du dénominateur.
$\dfrac{1+2i}{3-i}=\dfrac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{3+i+6i-2}{10}=\dfrac{1+7i}{10}$.
Pour $az^2+bz+c=0$ avec $\Delta=b^2-4ac\lt 0$, on écrit $\Delta=(i\sqrt{-\Delta})^2$ et les deux solutions complexes conjuguées sont $z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
$z^2-4z+5=0$ : $\Delta=16-20=-4=(2i)^2$, donc $z=\dfrac{4\pm2i}{2}=2\pm i$.
Tout complexe non nul peut aussi s'écrire à l'aide de son module $r=|z|$ et de son argument $\theta$ (l'angle formé avec l'axe des réels) :
$$z = r(\cos\theta+i\sin\theta) = r\,\e^{i\theta}$$
Pour $z=1+i$ : $r=\sqrt2$, $\theta=\dfrac\pi4$, donc $z=\sqrt2\,\e^{i\pi/4}$.
Représentation d'un complexe $z=a+ib$ dans le plan (diagramme d'Argand) : le point $M$ est repéré soit par ses coordonnées $(a,b)$, soit par le module $r=|z|=OM$ et l'argument $\theta$, l'angle entre l'axe des réels et le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
Dans le plan muni d'un repère, à chaque complexe $z=a+ib$ on associe le point $M(a,b)$, appelé image de $z$. Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ : le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A+z_B}2$, et la distance $AB=|z_B-z_A|$.
Calculer $(3+2i)+(1-5i)$.
$(3+1)+(2-5)i=4-3i$.
Calculer $(2+i)(1-3i)$.
$(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=2-5i+3=5-5i$.
Donner le conjugué et le module de $z=3-4i$.
$\bar z=3+4i$. $|z|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
Calculer $\dfrac{1}{1+i}$.
$\dfrac1{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=0{,}5-0{,}5i$.
Calculer $i^{13}$.
Les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ : $13=4\times3+1$, donc $i^{13}=i^1=i$.
Résoudre $z^2-2z+5=0$ dans $\C$.
$\Delta=4-20=-16=(4i)^2$, donc $z=\dfrac{2\pm4i}{2}=1\pm2i$.
Calculer $(1-i)^2$.
$(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$.
Sachant que $|z|=3$ et $|z'|=4$, que vaut $|zz'|$ ?
Le module est multiplicatif : $|zz'|=|z|\times|z'|=3\times4=12$.
$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=2+3i$ et $z_B=-4+i$. Calculer l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ et la distance $AB$.
$z_I=\dfrac{z_A+z_B}2=\dfrac{(2-4)+i(3+1)}2=\dfrac{-2+4i}2=-1+2i$.
$AB=|z_B-z_A|=|-6-2i|=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.
Donner le module et un argument de $z=-1+i\sqrt3$.
$|z|=\sqrt{1+3}=2$. $\cos\theta=-\dfrac12$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2$, donc $\theta=\dfrac{2\pi}3$.
Montrer que $z\in\R \iff \bar z=z$.
Si $z=a+ib$ est réel, $b=0$, donc $\bar z=a=z$. Réciproquement, si $\bar z=z$ : $a-ib=a+ib \Rightarrow 2ib=0 \Rightarrow b=0$, donc $z=a$ est réel.
Résoudre l'équation $z+2\bar z=3+i$ (avec $z=x+iy$, $x,y$ réels).
$z+2\bar z=(x+iy)+2(x-iy)=3x-iy$.
Par identification avec $3+i$ : $3x=3 \Rightarrow x=1$, et $-y=1 \Rightarrow y=-1$. Donc $z=1-i$.
Exercice A — Soient $z_1=2-3i$ et $z_2=-1+4i$.
1. Calculer $z_1+z_2$ et $z_1\times z_2$.
2. Calculer $|z_1|$.
3. Calculer $\dfrac{z_1}{z_2}$.
Exercice B — Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2+2z+10=0$.