Mesurer les chances de réalisation d'un événement, combiner des probabilités par un arbre pondéré, et calculer l'espérance d'un gain : les bases indispensables avant tout cours de statistique en école d'ingénieurs.
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, regroupées dans un univers $\Omega$. Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$. La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est un nombre entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances de réalisation.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Événement contraire | $P(\bar A)=1-P(A)$ |
| Union | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ |
| Événements incompatibles | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ |
Si $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}1$, alors $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}3-0{,}1=0{,}6$.
La probabilité de $B$ sachant $A$ (avec $P(A)\neq0$) est $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. On en déduit $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ — de façon équivalente, si $P_A(B)=P(B)$ : connaître la réalisation de $A$ ne change pas la probabilité de $B$.
Un arbre pondéré permet de visualiser une expérience à plusieurs étapes. Deux règles à retenir :
Un arbre pondéré à deux niveaux : la probabilité d'un chemin complet (par exemple $A$ puis $B$) s'obtient en multipliant les probabilités le long des branches empruntées, soit $P(A)\times P_A(B)$.
Pour une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ avec probabilités $p_1,\ldots,p_n$ (de somme $1$), l'espérance est $E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_ip_i$ : c'est la valeur moyenne « attendue » de $X$.
Un jeu rapporte 10 € avec probabilité $0{,}2$, et 0 € sinon (probabilité $0{,}8$). $E(X)=10\times0{,}2+0\times0{,}8=2$ € : le gain moyen espéré est de 2 € par partie.
$P(A)=0{,}35$. Calculer $P(\bar A)$.
$P(\bar A)=1-0{,}35=0{,}65$.
$P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Calculer $P(A\cup B)$.
$P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7$.
$A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A)=0{,}3$ et $P(B)=0{,}25$. Calculer $P(A\cup B)$.
Pour des événements incompatibles, $P(A\cap B)=0$, donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0{,}55$.
$P(A)=0{,}6$ et $P(A\cap B)=0{,}24$. Calculer $P_A(B)$.
$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}6}=0{,}4$.
$P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$P(A)\times P(B)=0{,}5\times0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)$ : les deux événements sont indépendants.
Une urne contient des boules ; $P(\text{rouge})=0{,}3$. Si la boule est rouge, $P(\text{gagner})=0{,}8$ ; sinon $P(\text{gagner})=0{,}1$. Calculer $P(\text{rouge et gagner})$.
On multiplie les probabilités le long du chemin : $P(\text{rouge et gagner})=0{,}3\times0{,}8=0{,}24$.
Avec les mêmes données que l'exercice 6 (et $P(\text{non rouge})=0{,}7$), calculer $P(\text{gagner})$.
$P(\text{gagner})=P(\text{rouge})\times P(\text{gagner}\mid\text{rouge})+P(\text{non rouge})\times P(\text{gagner}\mid\text{non rouge})$.
$P(\text{gagner})=0{,}3\times0{,}8+0{,}7\times0{,}1=0{,}24+0{,}07=0{,}31$.
Un dé truqué a $P(6)=0{,}3$ et les cinq autres faces sont équiprobables. Quelle est la probabilité de chacune des faces 1 à 5 ?
La somme des probabilités vaut $1$ : les 5 autres faces se partagent $1-0{,}3=0{,}7$, donc chacune a une probabilité de $0{,}7/5=0{,}14$.
Un jeu rapporte 20 € avec probabilité $0{,}1$, 5 € avec probabilité $0{,}3$, et 0 € sinon. Calculer l'espérance de gain.
$E(X)=20\times0{,}1+5\times0{,}3+0\times0{,}6=2+1{,}5+0=3{,}5$ €.
Un jeu coûte 3 € à jouer et rapporte 15 € avec probabilité $p$, sinon rien. Pour quelle valeur de $p$ le jeu est-il équitable (espérance de gain nette nulle) ?
Le gain net est $15p-3\times1=15p-3$ (on soustrait toujours la mise de 3 €).
Jeu équitable : $15p-3=0 \Rightarrow p=\dfrac3{15}=0{,}2$.
Un fabricant achète des pièces chez deux fournisseurs : $F_1$ (70%, taux de défaut 2%) et $F_2$ (30%, taux de défaut 5%). Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
$P(D)=0{,}7\times0{,}02+0{,}3\times0{,}05=0{,}014+0{,}015=0{,}029$, soit $2{,}9\%$.
Avec les données de l'exercice 11, sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de $F_2$ ?
$P(F_2\mid D)=\dfrac{P(F_2)\times P(D\mid F_2)}{P(D)}=\dfrac{0{,}3\times0{,}05}{0{,}029}=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}$.
$P(F_2\mid D)\approx0{,}517$, soit environ $51{,}7\%$ : bien que $F_2$ ne fournisse que 30% des pièces, il est responsable d'un peu plus de la moitié des défauts, en raison de son taux de défaut plus élevé.
Exercice A — On donne $P(A)=0{,}45$, $P(B)=0{,}3$, $P(A\cap B)=0{,}15$.
1. Calculer $P(A\cup B)$.
2. Calculer $P_A(B)$.
3. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
Exercice B — Arbre pondéré
Une entreprise reçoit des pièces de deux ateliers : l'atelier 1 fournit 60% des pièces avec un taux de défaut de 3%, l'atelier 2 fournit 40% des pièces avec un taux de défaut de 7%.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
3. Sachant qu'une pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier 2.