Arithmétiques, géométriques : deux familles de suites qui structurent une grande partie du programme de Terminale — et qui modélisent croissance et évolution dans de nombreux problèmes concrets.
Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers naturels : $u_0,u_1,u_2,\ldots$. Elle peut être définie de deux façons : par une formule explicite $u_n=f(n)$, ou par récurrence, en donnant $u_0$ et une relation reliant $u_{n+1}$ à $u_n$.
Une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$ : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité $r$.
$$u_n = u_0+nr$$
$(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $r=5$ : $u_{10}=3+10\times5=53$.
Une suite est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout $n$ : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même quantité $q$.
$$u_n = u_0\times q^n$$
$(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=3$ : $u_4=2\times3^4=2\times81=162$.
Une suite arithmétique croît régulièrement (points alignés) alors qu'une suite géométrique de raison $q\gt 1$ croît de plus en plus vite : c'est la différence essentielle entre croissance linéaire et croissance exponentielle.
| Type | Somme des $n+1$ premiers termes |
|---|---|
| Arithmétique | $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2$ |
| Géométrique ($q\neq1$) | $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ |
On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ : si $u_{n+1}-u_n\gt 0$ pour tout $n$, la suite est croissante ; si $u_{n+1}-u_n\lt 0$, elle est décroissante.
Si $-1\lt q\lt 1$ (et $q\neq0$), alors $q^n\to0$ quand $n\to+\infty$, donc $u_n=u_0q^n\to0$ : la suite géométrique converge vers $0$. Si $q\gt 1$, $u_n\to+\infty$ (pour $u_0\gt 0$) : la suite diverge.
$(u_n)$ est arithmétique, $u_0=4$, $r=3$. Calculer $u_7$.
$u_7=u_0+7r=4+21=25$.
$(u_n)$ est géométrique, $u_0=5$, $q=2$. Calculer $u_5$.
$u_5=u_0\times q^5=5\times32=160$.
Une suite arithmétique vérifie $u_0=2$ et $u_5=22$. Calculer sa raison $r$.
$u_5=u_0+5r \Rightarrow 22=2+5r \Rightarrow r=4$.
Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n=n^2$.
$u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\gt 0$ pour tout $n\ge0$ : la suite est strictement croissante.
Calculer $1+2+3+\cdots+100$.
C'est la somme des 100 premiers termes d'une suite arithmétique de raison $1$ : $\dfrac{100\times(1+100)}2=\dfrac{100\times101}2=5050$.
Calculer $1+2+4+8+\cdots+512$ (puissances de 2 de $2^0$ à $2^9$).
C'est une somme géométrique de premier terme $1$, raison $q=2$, avec $10$ termes ($n=9$) : $\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=\dfrac{1-1024}{-1}=1023$.
La suite $u_n=5\times(0{,}8)^n$ converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?
C'est une suite géométrique de raison $q=0{,}8$, avec $-1\lt 0{,}8\lt 1$ : elle converge vers $0$.
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Calculer $u_1,u_2,u_3$ puis reconnaître le type de suite.
$u_1=1+3=4$, $u_2=4+3=7$, $u_3=7+3=10$.
On ajoute toujours $3$ : c'est une suite arithmétique de raison $r=3$.
Un capital de 1000 € est placé à intérêt composé de 4% par an. Modéliser le capital $C_n$ après $n$ années, et calculer $C_3$.
Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}04$ : c'est une suite géométrique $C_n=1000\times(1{,}04)^n$.
$C_3=1000\times(1{,}04)^3\approx1124{,}86$ €.
La suite $u_n=3\times(1{,}5)^n$ est-elle croissante ou décroissante ?
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1{,}5\gt 1$ et $u_0=3\gt 0$, donc chaque terme est plus grand que le précédent : la suite est croissante.
$(u_n)$ est arithmétique de raison $2$ avec $u_0=1$. On pose $v_n=2^{u_n}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et donner sa raison.
$v_{n+1}=2^{u_{n+1}}=2^{u_n+2}=2^{u_n}\times2^2=4\times v_n$.
$(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=4$.
Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=10$ et dernier terme (21ᵉ terme, $u_{20}$) égal à $70$. Calculer la somme des 21 termes.
Somme $=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2=21\times\dfrac{10+70}2=21\times40=840$.
Exercice A — Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=7$ et raison $r=4$.
1. Calculer $u_{10}$.
2. Calculer la somme des 11 premiers termes ($u_0$ à $u_{10}$).
3. À partir de quel rang $n$ a-t-on $u_n\gt 100$ ?
Exercice B — Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=100$ et raison $q=0{,}5$.
1. Calculer $v_3$.
2. Cette suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Justifier.